Интерполяция
1. Постановка задачи и основные определения
Пусть имеется таблица значений некоторой функции f(x):
-
x
f(x)
x0
f0
x1
f1
x2
f2
...
...
xn
fn
Для определенности будем считать, что все табличные значения аргумента x различны и упорядочены по возрастанию: x0<x1<...<xn.
Задача интерполяции состоит в оценке f(x) при произвольном значении аргумента на основании табличных данных. Для этого строят функцию F(x) известного (и, по возможности, простого) вида, требуя, чтобы при x=x0, x1, ..., xn она воспроизводила табличные значения:
(1)
Такую функцию называют интерполирующей (или интерполяционной) для f, а значения аргумента xi, для которых записаны условия (1), называют узлами интерполяционной формулы (или просто узлами интерполяции).
F(x)принимают в качестве искомой оценки значения f(x). Если аргумент x находится в области, охватываемой узлами (x0xxn), то говорят о собственно интерполяции; если же x<x0 или x>xn, то речь идет об экстраполяции. Как правило, результаты экстраполяции менее надежны по сравнению с интерполяцией. В дальнейшем термин «интерполяция» мы будем понимать в широком смысле, за исключением случаев, когда она явным образом противопоставляется экстраполяции.
Разница между точной функцией f(x) и результатом интерполяции
(2)
называется погрешностью (ошибкой) интерполяции или остаточным членом интерполяционной формулы. Очевидно, что в узлах интерполяции погрешность равна нулю:
(3)
Поведение погрешности в промежутках между узлами зависит от свойств интерполируемой и интерполирующей функций, а также от количества и расположения узлов.
Можно ли повысить точность интерполяции путем увеличения числа узлов и уменьшения расстояний между ними? Однозначного ответа на этот вопрос не существует; все зависит от сходимости интерполяционного процесса. Понятие сходимости относится к случаю, когда на некотором фиксированном отрезке [a, b] берутся различные наборы узлов ax0<x1<...<xnb для построения однотипных интерполяционных функций (например, многочленов разной степени). Говорят, что процесс сходится, если при неограниченном росте числа узлов погрешность интерполяции стремится к нулю. Различают разные виды сходимости. Например, сходимость в точке касается погрешности при некотором фиксированном значении x, а равномерная сходимость на отрезке означает, что при n стремится к нулю максимальная погрешность на данном отрезке. Разумеется, на погрешность влияет не только число узлов, но и их распределение на отрезке [a, b]. Поэтому при одном способе выбора узлов сходимость может иметь место, а при другом – отсутствовать.