2.4 Методы линеаризации графиков

Для проверки правильности предлагаемой функции (сравнивают экспериментальную и теоретическую зависимости) или нахождения отдельных коэффициентов используется построение линеаризованного графика.

2.4.1 Линеаризация методом преобразования

Наиболее часто используют логарифмирование аналитического выражения (?как вы думаете, почему? Выпишите основные операции с логарифмами. Учебник математики ?).

Пример: Известное эмпирическое уравнение Фрейндлиха-Бедекера (?где оно используется??) представляет собой степенную функцию. После логарифмирования мы получаем ; данное выражение, представляет уравнение прямой линии.

Если этот вид не вытекает из каких-либо общих сообра­жений, то обычно выбирают одну из функций или простую комбинацию таких функций (сумму степенных или показательных функций и т. п.); конечно, для этого надо хорошо представлять себе графики этих функций. Различные графики, сами функции и способы расчета отдельных коэффициентов можно найти в справочнике химика Т.1 стр. 94. При этом следят за тем, чтобы подбираемая функция (x) имела те же характерные особенности, что и изучаемая функция f(x). Иногда не удает­ся подобрать единую формулу на всем интервале изменения х и приходится разбивать этот интервал на части и на каждой подби­рать свою формулу.

2.4.2 Метод подстановки.

В этом случае группу величин рассматривают как некую величину а, в, с, и т.д.

Пример: Уравнение адсорбции Лэнгмюра (преобразованная форма ) можно линеаризовать, выразив 1/kГ_=b, 1/Г_=а,

получаем: С/Г=аС+b.

3. Изменение формы записи

Изменение формы записи используется часто в уравнениях содержащих гармоническую составляющую.

Пример: Экспоненциальное уравнение , описывающее напряжение в цепи переменного тока можно выразить в тригонометрической форме или в комплексной форме U=Re(U) + Im(U).

2.6 Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов

Один из на­илучших методов получения эмпирических формул и проведения усредненной линии через экспериментальные точки - это способ наименьших квадратов. Изложим идею этого способа на конкретном примере:

Имеются данные занесенные в таблицу : х_i и y_i.

Предположим: у = ax + b

За основу вычисления берем следующую таблицу:

,

где а и b искомые коэффициенты, n – число экспериментальных точек.

Результаты измерений величин х, у и данные их обра­ботки занесены в следующую таблицу:

№ i	xi	yi	x i 2	xiyi
1	-2	0.5	4	-1.0
2	0	1	0	0
3	1	1.5	1	1.5
4	2	2	4	4
5	4	3	16	12
	5	8.0	25	16.5

Подставим имеющиеся данные в систему уравнений и решим ее.

Решая эти уравнения, получим: а = 0,425, b = 1,175. Отсюда y=0.425x+1.175

Задания для самостоятельной работы:

Результаты измерения величин х и у даются следующей таблицей:

X	10	20	30	40	50	60
Y	150	100	40	0	-60	-100

Предпологая, что между х и у существует линейная зависимость способом наименьших квадратов определите коэффициенты a и b.

х	2,29	2,77	4,47	4,36	6	7	7,42	9	9,27	11
у	1,08	1,86	2,88	4	5	5,51	7	7,62	8,63	9,47
х	1,08	1,5	2,88	4	5	5,51	7	7,62	8,25	9,47
у	1,81	2,77	3,97	2,97	3,93	6,56	7,01	7,32	9,27	8,99
х	10	17,9	30	33,9	50	56,2	66,5	80	90	100
у	4600	6050	6660	8050	10990	10050	11050	13200	14720	14050
х	10	17,9	30	33,9	50	56,2	52	65,6	68,5	82
у	1410	4000	3420	6060	8520	10050	11050	13200	12580	14050
х	10,8	139	86,4	135,6	250	309,662	364	436	176	280
у	779,0055	1050	861,461	1130	1330	1532,012	1576,32	1803,279	1357,066	1562,848
х	10	17,9	30	33,9	42,9	49,3	52	65,6	60,1	65,6
у	1410	2740	5110	6060	8520	10050	11050	13200	12580	14050
х	10	17,9	30	33,9	42,9	49,3	52	65,6	60,1	65,6
у	-1,41	-2,74	-5,11	-6,06	-8,52	-10,05	-11,05	-13,2	-12,58	-14,05
х	-14,1	-49,046	-153,3	-205,434	-365,508	-495,465	-574,6	-665	-756,058	-841
у	-0,188	-0,1894	-0,19462	-0,1961	-0,1986	-0,20385	-0,20689	-0,20821	-0,21236	-0,21418

Параболу у=х² на участке 2 х 4 приближенно замените прямой Y= kх+b так, чтобы средняя квадратичная ошибка была наименьшей.

Таблица разновариантных заданий для работы на практическом занятии: