Занятие №2. Функции и графики.

Основные понятия и термины.

Функция и функциональная зависимость, обозначение и способы задания (аналитический, табличный, графический, описательный, программный) и их взаимосвязь. Графики функций, правила и способы их изображения. Преобразования графиков и их линеаризация. Методы линеаризации функций. Интерполяция и экстраполяция. Подбор эмпирической формулы к графическим данным. Использование линеаризованной формы для подбора функции. Нахождение коэффициентов функции графически. Практические применения пропорций.

1. Функция

2.1.1 Основные представления

Если изменение одних величин сказывается на значениях других, тогда говорят, что между рассматриваемыми величинами имеется функ­циональная зависимость. Например, при изменении условий, в кото­рых содержится какая-либо определенная порция газа, функциональ­ная зависимость будет между объемом V, температурой Т и дав­лением р этого газа, так как эти величины взаимосвязаны (?какие уравнения взаимосвязи для газов вы знаете?).

Среди функционально зависимых между собой величин можно указать независимые переменные, зна­чения которых могут выбираться более или менее произвольно, тогда как значения остальных величин (зависимых переменных) определя­ются значениями первых. Например, при рассмотрении порции газа за независимые переменные можно взять V и Т, давление будет тогда зависимой переменной.

Если между величинами имеется функ­циональная зависимость, то часто выбор того, какие из этих вели­чин считать независимыми, а какие — зависимыми, является довольно условным. Так, в приведенном примере с порцией газа за независи­мые переменные можно было бы принять Т или p, a V — за зависи­мую переменную. ?Приведите схему опыта, в котором бы Т и р задавались, а объем V находился.?

Выбор того, какие перемен­ные более естественно или более удобно принять за независимые, иногда довольно важен. Функции могут быть от одного аргумента или от двух и более аргументов (?приведите примеры?). Заметим, что для того, чтобы некоторая величина у могла рас­сматриваться как функция от независимой переменной х, достаточно только, чтобы существовал определенный закон, но которому значениям х отвечали бы значения у, этот закон может быть нам и неизвестен.

Если величина у является функцией от вели­чины х, то обычно пишут y=f(x) (читается: «игрек есть эф от икс»), где f - начальная буква латинского слова functio (знак функ­ции). Частные значения этой функции получаются, если аргументу х придать частные (конкретные) значения. Пусть, например, y=f(x) имеет такой вид: y=x². Тогда при х=2 будет у=4, при х=-0,6 будет у= 0,36 и т. п. Это можно написать так: f(2) = 4, f(-0,6) = 0,36 и т. д.

Функции от нескольких аргументов обозначаются z=f(x, у), запятая в данном случае является признаком функции от двух аргументов.

2.2 Способы задания функций.

Чтобы функцию, т. е. зависи­мость одной величины от другой, можно было изучить, она должна быть как-то задана. Имеется несколько способов задания функции.

2.2.1 Аналитический способ (при помощи формулы)

В этом способе явно указываются мате­матические действия, которые надо совершить над независимой переменной, чтобы получить значение функции. Например, формула рН=-log[a_H+] означает, что для того, чтобы получить значение pH, нужно от значения активности ионов водород взять логарифм и полученное значение умножить на -1.

Аналитическое задание функции - основной способ задания в расчетных задачах.

Преимущества:

а) возможность вычислить значение функции для любого зна­чения независимой переменной из области определения;

б) возможно применить к дан­ной функции аппарат математического анализа;

Неудобства:

а) недостаточная наглядность;

б) необходимость производства вычислений, подчас очень гро­моздких.

2.2.2Табличный способ

При табличном задании просто выписы­вается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Хорошо изве­стны таблицы логарифмов, таблицы зависимости растворимости от температуры и др.

Числовые результаты последовательных наблю­дений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Например, при изучении зависимости скорости химической реакции () от температуры (Т) была получена сле­дующая таблица:

Т	25	35	45	60	73	90
	1	1.3	1.6	2	2.5	3.1

Скорость является функцией температуры, и приведенная таблица дает значения этой функции для указанных значений неза­висимой переменной. Каждая из разностей значений называется шагом таблицы. Наиболее удобны таблицы с постоянным шагом.

Преимущества:

а) для каждого значения переменной, можно сразу найти соответст­вующее значение функции;

б) таблицы удобно использовать при обработке данных с использованием ЭВМ;

в) они создаются при цифровой автоматической записи сигнала.

Недостатки:

а) Могут понадобиться значения функции при значе­ниях аргумента, которых нет в таблице; тогда приходится произ­водить дополнительные вычисления—интерполяцию (для промежу­точных значений аргумента) или экстраполяцию (для значений аргумента, лежащих за пределами таблицы), что иногда приводит к неверным результатам.

б) Обычно невозможно задать функцию полностью: найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таб­лице.

в) По таблице весьма трудно выявить характер изменения функции при изменении независимой переменной.

г) Таблицы часто занимают большой объем, составляются с затратой большого труда.

2.2.3 Графи­ческий способ (с помощью графика).

Графиком функции (в системе декартовых прямоугольных координат) называется множество всех точек, абс­циссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты — соответствующими значениями функции. Масштабы при этом на обеих осях могут быть как одинаковыми, так и различными.

Графиком функции обычно служит некоторая кривая (в частности и прямая) линия. ?Как выглядит график постоянной величины??

Преимущества:

а) очень нагляден;

б) можно быстро находить значения функции с небольшой точностью;

в) иногда график является единственным доступным средством задания функции, это бывает при употреблении самопи­шущих приборов, автоматически записывающих изменение одной ве­личины в зависимости от изменения другой (например, времени).

Недостатки:

а) составление графика с достаточной точностью требует затраты

б) точность, с которой получаются значения функции из графика, может оказаться недостаточной.

в) к графику не может быть непосред­ственно применен аппарат математического анализа.

?Существуют ли другие способы задания функции??