Сокращенное вычисление среднего арифметического

Числа, берущиеся для вычисления ср. ар., обычно мало отли­чаются друг от друга. Тогда вычисление ср. ар. можно значительно облегчить с помощью следующего приема:

1) Выбираем произвольно какое-нибудь число, близкое к данным числам. Если данные числа отличаются друг от друга только в последнм знаке, то в выбираемом числе предпочтительно взять за последнюю цифру 0; если данные числа отличаются друг от друга и двух последних цифрах, удобно взять число с двумя нулями на конце и т. д.

2) Вычитаем это число по очереди из всех данных чисел.

3) Берем ср. ар. найденных разностей.

4) Прибавляем ср. ар. к взятому числу.

Пример. Найти ср. ар. чисел: 62,36; 62,30; 62,32; 62,31; 62,36; 62,35;

1. Выбираем число 62,30 в качестве близкого.

2. Вычитаем 62,30 из данных чисел; находим разности (в сотых долях) 6; 0; 2; 1; 6; 5.

3. Берем ср. ар. разностей; получаем 4 (сотых).

4. Прибавляем 0,04 к 62,30. Получаем 62,34. Это —искомое ср. ар.

Точность среднего арифметического

Если ср. ар. получено из сравнительно небольшого ряда данных например из 5 или 10, то не исключена возможность, что истинная величина несколько отклоняется от вычисленной средней. Тогда важно знать как велико может быть это отклонение; речь идет не о теоретически мыслимом отклонении (оно может быть как угодно велико), а о практически возможном. Величина последнего определяется величиной среднего квадратичного отклонения.

Средним квадратичным отклонением называется квадратный ко­рень, из ср. ар. всех квадратов разностей между данными числами и их ср. ар. Ср кв. отклонение принято обозначать греческой буквой  («сигма»);

, где a₁ и т.д. - исходные данные, а_{среднее} - среднее арифметическое, n – количество исходных данных.

В формуле любую из разностей можно заме­нить, ей противоположной; это дает возможность не вводить в вычисление отрицательных чисел.

Полученную величину необходимо умножить на масштаб или на точность с которой взяты наши величины в задаче выше точность составляла 0,03. Полученная величина будет определять в каких границах может находится истинное значение величины от ср. ар. Перескок (точнее возможность) за эти границы при количестве данных боле 10 менен 0,5%. Если число измерений значительно больше десяти, то максималь­ное практически возможное отклонение истинной величины от ср. ар. будет меньше чем . Так, когда число измерений примерно равно 1000, практически возможны лишь отклонения, не превышающие 0,1.

Практические применения пропорций. Интерполяция

Решение многих задач связано с рассмотрением пропорциональных величин. Хотя пропорциональная зависимость встречается очень часто, все же огромное число зависимостей, с которыми приходится иметь дело в практике, не подчиняется закону пропорциональности. Тем более важно отметить, что даже для таких величин схема пропорциональ­ного расчета не теряет значения. Именно, если рассматривать измене­ния непропорциональных величин внутри некоторых тесных пределов, то эти изменения будут практически пропорциональны.

Поясним это примером. Плотность раствора и его массовая доля (или концентрация) в широких пределах не про­порциональны (докажите на основе следующих данных): например, плотности раствора уксусной кислоты = 1,0012 г/см³ соответствует массовая доля 2%; плотности раствора уксусной кислоты = 1,0098 г/см³ соответствует массовая доля 8%; плотности раствора уксусной кислоты = 1,0154 г/см³ соответствует массовая доля 12%;и так далее. Отношение плотностей, как видим, не равно отношению соответствующих массовых долей (докажите расчетом). Но отношение изменений плотности во взятых нами пределах практи­чески равно отношению изменений массовой доли (докажите расчетом).

Таким образом, изменение плотности пропорционально изменению массовой доли, если величины послед­них брать с точностью до первого десятичного знака. Если же брать два десятичных знака, то обнаружится небольшое отклонение от пропорциональности. Но можно добиться, чтобы и в третьем знаке не было никакого отклонения от пропорциональности; для этого нужно рассматривать изменения в еще более узких пределах (1%-0,9997; 4%-1,0041; 6% 1,0069) (так ли это?). Практически мы всегда учитываем только определенное количество десятичных знаков (три, четыре, редко пять). Вот почему мы можем малые изменения считать величинами пропорциональными. То же явление имеет место в огромнейшем большинстве других слу­чаев. Благодаря этому оказывается возможным по таблице или графику (рассмотрим позже), содержа­щей сравнительно небольшое число данных, находить и такие резуль­таты, которых в таблице нет, как бы «читая между строк» в ней.

Описанный выше способ вычисления носит название интерполяции (или интерполирования). Латинское слово «интерполяция» в переводе означает «вставка внутрь». В математике интерполяцией называется всякий способ, с помощью которого по таблице, содержащей некото­рые числовые данные, можно найти промежуточные результаты, кото­рые непосредственно не даны в таблице. Рассмотренный нами про­стейший способ интерполяции называется линейной интерполяцией. На основе имеющихся данных составьте таблицу и расчитайте промежуточные данные с точностью до 1%, можем ли мы расчитать плотность 1,5% и 2,55% растворов приведите письменные доказательства.

Интерполяция широко применяется при пользовании таблицами самого разнообразного содержания.