Занятие №1.

Величины и функции.

Основные понятия и термины.

Понятие величины её размерность. Постоянные и переменные величины. Приближенные значения: запись, округления, относительная и абсолютная погрешности. Значащие, точные, сомнительные и не верные цифры в значении приближенной величины. Погрешности суммы и разности, произведения и часного. Приближенные вычисления (сложение и вычитание, умножение и деление) с помощью правил подсчета цифр, по способу границ и логарифмическим методом. Приближенное вычисление и правила округления при приближенном вычислении. Определение точности приборов и лабораторного оборудования с использованием их класности. Нахождение уровня точности величин полученных после математических операций над независимыми приближенными величинами. Определение необходимой и достаточной точности измерения. Способы быстрых вычислений. Нахождение промежуточных данных методом линейной интерполяции.

Функция и функциональная зависимость, обозначение и способы задания (аналитический, табличный, графический, описательный, програмный) и их взаимосвязь. Интерполяция и экстрополяция. Графики функций, правила и способы их изображения. Область определения функции. Характеристики поведения функции. Алгебраическая классификация функций (элементарные функции, неявные функции, обратные функции, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция, дробнолинейная функция, логарифмическая функция, показательная функция, гиперболические функции, тригонометрические функции). Преобразования графиков и их лианеризация. Методы лианеризации функций. Подбор эмпирической формулы к графическим данным. Использование лианеризованной формы для подбора функции. Нахождение коэффициэнтов функции графически.

Теоретический материал.

Величина

Понятие величины широко и всеобъемлюще. Масса, давление, работа, заряд, длины и объемы, целые и дробные чис­ла— все это величины. Величина - то, что, выраженно в определенных единицах (например, масса — в граммах или тоннах и т. п.) и характеризуется своим числен­ным значением. Так, количество вещества является величиной, поскольку оно, выраженна в молях и характеризуется своим численным значением; само вещество не является величиной, так как для него характерны цвет, агрегатное состояние и т.д., которые не выражается каким-либо числом. Размерностью величины назы­вается та единица, через которую эта величина выражена. Так, раз­мерностью массы обычно служит килограмм (система СИ).

Складывать или вычитать можно только величины одинаковой размерности, множить или делить можно ве­личины любой размерности; при этом над размерностью производятся теже операции, что и над единицами величины.

Часто рассматриваются величины безразмерные («отвлеченные»). Так, отношение двух величин одинаковой размерности является без­размерным (вспомните имеют ли размерности величины выраженные простым долевым способом). Численное значение величины, которое является отно­шением этой величины к ее выбранной единице, также безразмерно; например, численным значением массы в 5 кг служит «безразмерная масса» 5. Безразмерную массу можно получить также, взяв отноше­ние изучаемой массы к некоторой характерной в рассматриваемом процессе массе (хорошо известной и принимаемой в данном процессе за эталон для сравнения). Подобным образом вводятся безразмерные количество вещества, время и т. п.

В курсе математики величины обычно считаются безразмерными. Безразмерная величина полностью характеризуется своим численным значением, ее «единицей» служит число 1. В случае расмотрения прикладных знаний (то, чем мы и будем заниматься) нами рассматриваются размерные величины (и если помнить выше сказанное то принципиальной разницы нет).

Постоянные и переменные величины.

Величина, участвую­щая в некотором рассмотрении, может либо принимать различные значения, либо принимать одно определенное значение; в первом случае она называется переменной величиной, а во втором — посто­янной (константой). Так, при рассмотрении воды в бассейне давле­ние в различных точках есть величина переменная, оно зависит от места замера, тогда как плотность в разных точках можно с дос­таточной точностью считать величиной постоянной. Другой пример: при рассмотрении процесса сжатия определенной порции газа при постоянной температуре, давление и объем будут величинами пере­менными, а масса, количество вещества и температура — постоянными. Впрочем, надо иметь и виду, что в любом реальном процессе постоянные вели­чины могут несколько меняются, и только если это изменение незначитель­но и несущественно для остального, можно условно, схематизируя процесс, принять их за постоянные (подтвердите это на примере закона сохранения массы). И об этом надо время от времени вспоминать, так как если считать пос­тоянной величину, изменение которой невелико, но существенно для рассмотрения, то можно прийти к ошибочным выводам (что неод­нократно бывало).

Величина, постоянная в одном рассмотрении, может в другом аналогичном (похожем) рассмотрении принимать другое значение или даже быть переменной. Такие постоянные величины называются параметрами данного рассмотрения; они являются его характеристи­ками. Так, в процессе изотермического сжатия газа масса и темпе­ратура служат параметрами. При сравнении скоростей химических реакций сравнивают их константы но являются ли они константами без доплнительных условий.

Переменная величина, которая принимает сплошь все числовые значения или все значения, заключенные между некоторыми границами, называется непрерывной. В противоположность этому величина, принимающая отдельные, «оторванные» друг от друга значения, называется дискретной.

Совокупность тех значений, которые может принимать данная переменная величина, принято называть областью изменения этой величины. Для указания этой области вводят понятие ин­тервала.

Областью изменения дискретной величины служит совокупность конечного или бесконечного коли­чества отдельных чисел или, как говорят геометрически, отдельных точек (но не целых интервалов). Например, какой-либо номер может принимать значения 1, 2, ...; он будет дискретной переменной ве­личиной.

Приближенные значения величины

Обычно говорить об аб­солютно точном численном значении физической величины невоз­можно. Более того, в громадном большинстве случаев указание величины с чрезмерно большой степенью точности нецеле­сообразно, даже если оно возможно при современном уровне изме­рительной техники. Например, при расчетах с использованием газовой постоянной нелепо указывать ее с точностью до статысячных. То же можно сказать о массах, давлениях и т. п. Поэтому численные значения почти всех величин в химии, физике и технике (например, всех непрерывных величин) задаются прибли­женно.

Математические действия над приближенными значениями вели­чин называются приближенными, вычислениями.

Выбор степени точности — это чрезвы­чайно ответственное дело. При этом выборе приходится руковод­ствоваться многими соображениями—потребностями, возможностями, экономичностью и т. п.

Погрешности

Пусть точное значение какой-либо величины равно А, а приближенное равно а. Тогда погрешность, т. е. отклонение точ­ного значения от приближенного, равна А=А — а; она может получить­ся как положительной, так и отрицательной. Эта погрешность обычно бывает точно неизвестна, так как неизвестно значение А. Поэтому обычно задаются предельные погрешности А₁ и А₂ между которыми содержится истинная погрешность: А₁<А-а<А₂ или а - А₁<А< а + А₂.

В этом случае говорят, что задана двусторонняя оценка величины А. Так как задавать две предельные погрешности не удобно, то часто задается предельная абсолютная погрешность А (ее можно называть просто абсолютной погрешностью).

Например, при измерении значение числа Авогадро (N_A) получено 6,022045*10²³ моль^-1, причем мы можем ручаться за точность дo 3,1*10¹⁸. Это значит, что в дан­ном случае А =3,1*10¹⁸ и 6,022014*10²³ < N_A <6,022076*10²³ моль^-1; можно написать N_A = (6,022045*10²³ ±3,1*10¹⁸) моль^-1 или N_A = ((6,022045±0,000031)*10²³) моль^-1

Предельная абсолютная погрешность не полностью характеризует точность измерения: например, если она равна 1 единица, то еще неясно, грубая это ошибка или нет, так как важно, что измеря­ли— число частиц или температуру плавления гелия. Качество измерения больше характеризуется предельной относительной погрешностью  (или просто относительной погрешностью), которая вы­числяется по формуле: =А /А

Предельная относительная погрешность безразмерна и часто выpажается в процентах, причем для упрощения ее значение обычно округляется в сторону увеличения. В приведенном примере с нахождением числа Авогадро предельная относительная погрешность в процентах равна < 0,00052%.

Для многих прикидочных (на глазок) расчетов достаточна точность (т. е. предельная относительная погрешность) порядка процентов и даже десятков процентов. С другой стропы, например, точные измерения и расчеты фундоментальных величин требуют точности ниже сотых и даже десятитысечных процента (подсчитайте предельную относительную погрешность массы электронов в атомах урана и бора).

Запись приближенных чисел.

Запись приближенных чисел, т.е. приближенных численных значений величин, производится так, чтобы сам вид записи говорил о степени их точности. Обычно их записывают так, что все цифры верны, кроме последней, сомнительной в которой допускается ошибка не больше чем на единицу. Например, выражение для объема V — 1,25 мл означает, что а_V=0,01 мл, т. е. на самом деле 1,24 <V< 1,26. Между записями V = 1,25 и V = 1,250 мл огромная разница, так как эти за­писи говорят, что первое вычисление производилось с точностью до 0,01, а второе с точностью до 0,001 мл (если не указана другая точность, например 0,01 и 0,002), иногда говорят, что во втором случае точность на порядок выше, или что погрешность на порядок меньше, чем в первом. Если при вычислении получилось значение V= 2,3770мл, но уже третья цифра сомнительна или четвертая нас не интересует, то надо произвести округление, т. е. написать V = 2,38мл.

Число знаков после запятой говорит о предельной абсолютной погрешности; о предельной же относительной погрешности говорит общее число верных знаков, к которым не относят стоящие впереди нули: например, числа 2,57, 1,7100, 0,015, 0,00210 имеют соответственно 3, 5, 2, 3 верных знаков. Чем больше верных знаков в числе, тем меньше предельная относительная погрешность.

Следует избегать записей вида m= 1800 г, так как они за­частую не показывают точности измерения (или вычисления). Если вторая цифра сомнительна, следует писать m=1,8*10³ г, а если четвертая —то 1,800*10³ г. Какой предельной абсолютной погрешности соответствует запись m=1800 г? Учтите, это правило не всегда соблюдается, поэтому могут возник­нуть недоразумения!!!

Операции над приближенными числами и их погрешности.

Сложение и вычитание приближенных чисел.

Рассмотрим пример. Пусть колба и пробка взвешивались раздельно, причем массы их оказались соответственно равными m_К = 323,1 г и m_П = 5,722 г (пробка взвешивалась на более точных весах). Для на­хождения суммарного веса колбы с пробкой было бы неправильно считать так:

M_К+П = 323,1 + 5,722 = 328,822г.

Действительно, вес колбы определен только с точностью до 0,1 г, и потому сотые и тысячные в ответе являются не только лишними цифрами, но даже вредными: форма ответа такова, как будто m_К определено с точностью до 0,001, что неверно. По­этому при сложении m_П следует округлить до 0,1, т. е. проводить вычисления так:

M_К+П = 323,1 + 5,7 = 328,8 г;

этот же ответ получится, если округлить результат, подсчитанный выше. Таким образом, в сумме берется столько знаков после запя­той, сколько их имеется у слагаемого с наибольшей абсолютной погрешностью.

Если слагаемых много, то ошибки в них могут складываться и дать большую ошибку в сумме (систематический «недолив», явно не учитывается на ликероводочных заводах). В таких случаях рекомендуется правило лишнего знака: оставлять один лиш­ний знак, а в ответе произвести его округление.

Пусть, например, надо найти сумму чисел: 132,7; 1,274; 0,06321; 20,96; 46,1521.

Самая большая абсолютная погрешность у первого слагаемого: она равна 0,1. Поэтому прочие слагаемые округляем до 0,01:

=132,7 + 1,27 + 0,06 + 20,96 + 46,15 = 201,14

т. е.  = 201,1. Если бы мы не воспользовались правилом лишнего знака и округляли все слагаемые до 0,1, то получили бы менее точный результат:

 = 132,7+ 1,3 + 0,1+ 21,0+46,2 = 201,3.

Другой пример. Пусть надо найти сумму с точностью до 0,01, причем считается, что целые числа, стоящие под зна­ками корня квадратного, совершенно точные. Пользуясь правилом лишнего знака, подставляем значения корней с точностью до 0,001:

2,236 + 2,449 + 2,646 + 2,828 = 10,159, т. е. = 10,16.

Если число слагаемых весьма велико, следует пользоваться двумя лишними знаками.

При вычислении суммы нескольких слагаемых, заданных с оди­наковым числом знаков после запятой, следует иметь в виду, что предельная абсолютная погрешность у суммы будет больше, чем у слагаемых; поэтому ответ целесообразно округлить до предыдущего знака. Например, пусть

 = 1,38 + 8,71 + 4,48 + 11,96 + 7,33.

Складывая получим  = 33,86. Однако последняя цифра очень сом­нительная; поэтому следует написать ответ в виде  = 33,9.

Предельная абсолютная погрешность суммы или разности не­скольких величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих величин. Например, если две величины определены с точностью до 0,1, то, как легко понять, сумма или разность этих величин определены с точностью до 0,2, так как ошибки могут сложиться. Если слагаемых много, то очень маловероятно, чтобы все ошибки сложились. В этом случае для определения погрешности суммы надо пользоваться методами теории вероятностей. Из них вытекает, что один знак в сумме надо округлять, начиная примерно с пяти слагаемых, а два знака — примерно с 500.

При вычитании приближенных чисел правила те же, что при сложении, но надо дополнительно иметь в виду, что при вычитании близких чисел относительная точность резко ухудшается. Например, пусть надо найти разность 327,48 и 326,91. В вычитаемом и уменьшае­мом  = 0,01, т. е.  < 0,004%.

В разности же равной 0,57 предельная абсолютная погрешность равна 0,02, поэтому предельная относительная погрешность  =3,5%.

Относительная погрешность увеличилась в 1 000 раз!

Поэтому надо стараться измерять или вычислять разность близких чисел без выполнения такого вычитания. В случае если без такой операции обойтись невозможно (например: нахождение массы осадка после прокаливания в тигле), необходимо подбирать тигель возможно меньшей массы и проводить взвешивание с максимально возможной точностью.

Погрешность произведения, деления, степени.

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Пример. Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4%, а второго 0,5%. Тогда предельная относительная погреш­ность произведения 50x20=1000 приближенно равна 0,9%.

! Предельная относительная погрешность произведения всегда больше» чем сумма предельных относительных погрешностей сомножи­телей; она превышает эту сумму на произведение относительных по­грешностей сомножителей. Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать. В условиях нашего примера имеем  = 0,004 + 0,005 + 0,004 • 0,005 = 0,00902. Превышение здесь составляет 0,00902—0,009 = 0,00002, т. е. около 0,2% от приближенной величины предельной относительной погрешности. Это превышение столь незна­чительно, что его нет смысла учитывать.

Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример. Приближенное число 50,0 делится на приближенное число 20,0. Предельная погрешность делимого и делителя 0,05. Тогда

предельная относительная погрешность делимого = 0,1%, а предельная относительная погрешность делителя = 0,25%. Предельная относительная погрешность частного 50,0:20,0 = 2,50 должна составлять приблизительно 0,35%.

Точная величина предельной относительной по­грешности всегда превышает приближенную, вычисленную по вышеприведенному пра­вилу, процент превышения примерно равен предельной относитель­ной погрешности делителя.

Возведение в (целую) степень есть повторное умножение, и потому к нему относится все сказанное выше. При возведении в не­большую степень результат имеет столько же верных цифр, сколько взятое число или содержит небольшую ошибку в последнем знаке. Если же степень велика, то накопление небольших ошибок может отразиться и на цифрах высшего разряда.

При извлечении корня любой степени результат имеет по меньшей мере столько же верных цифр, сколько их было в подкоренном числе.

Решение этой обрат­ной задачи опирается на приведенные правила приближенных вычислений. Пусть, например, вычисляется точный объем мерной колбы (примерный объем 100 мл) методом взвешивания воды, температура поддерживается 20 2 С. С какой точностью необходимо произвести взвешивание, чтобы достич максимально возможной точности. Какие дополнительные данные вам необходимы?

Правила округления

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или не­сколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдают следующие правила.

Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем 5, то последняя из сохраняемых увеличивается на единицу. Увеличение совершается и тогда, когда первая из отбрасы­ваемых цифр равна 5, а за ней есть одна или несколько значащих цифр.

Пример. Округляя число 27,874 до трех значащих цифр, пишем 27,9. Третья цифра 8 увеличина до 9, так как первая отбрасы­ваемая цифра 7 больше, чем 5. Число 27,9 ближе к данному, чем неувеличенное округленное число-27,8.

Пример. Округляя число 36,251 до первого десятичного знака, пишем 36,3. Цифра десятых 2 увеличена до 3, так как первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней есть значащая цифра 1. Число 36,3 ближе к данному (хотя и незначительно), чем неувеличенное число 36,2.

Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то увеличение не делается.

Пример. Округляя число 27,48 до единиц, пишем 27. Это число ближе к данному, чем 28.

Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет зна­чащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается, если она нечетная. Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточные. Взаимная компенсация погрешностей обеспечит наибольшую точность результата. Правило 3 можно изменить и применять всегда округление на ближайшее нечетное число. Точность будет та же.

Пример. Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохра­няемая цифра 6—четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.

Пример. Округляя число 0,935 до второго десятичного знака, пишем 0,94. Последняя сохраняемая цифра 3 усиливается, так как она нечетная.

Пример. Округляя числа

6,527; 0,456; 2,195; 1,450; 0,950; 4,851; 0,850; 0,05 до первого десятичного знака, получаем:

6,5; 0,5; 2,2; 1,4; 1,0; 4,9; 0,8; 0,0.

Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр.

Предварительные замечания. Различают приближенные вычисле­ния со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр. В этих правилах используются понятия десятичных знаков, значащих, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все, его цифры, стоящие правее запятой. Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака. Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с отличной от нуля первой слева, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмеча­лось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими, также можно поступать и с добавленными неверными знаками).

П р и м е р ы. В числе 3,5 — две значащие цифры, в числе 0,0307— три значащие цифры. В числе 35000, полученном в результате округле­ния до тысяч, две значащие цифры. Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной.

П р и м е р ы. В числе 2,06(+0,005) цифры 2, 0, 6 точные. В числе 2,06(±0,01) цифры 2 и 0 точные, а 6—сомнительная. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные а все три нуля — сомнительные.

Вычисления с приближенными числами, записанными таким спо­собом, выполняют как и над точными числами, но, придерживаясь следующих правил.

Правила подсчета цифр. 1. При сложении и вычитания приближен­ных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.

2. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько, их есть в данном числе -с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32

Задача. Теплота реакции горения приближенно равна 7,6 кДж, количество вешества — 0,38 моль. Чему равна молярная теплота сгорания?

Молярная теплота сгорания равна частному от деления 7,6 на 0,38. Действие деления выполняют так: если числа не делятся на цело, то делят до следующего знака превышающеого число наименьших значащих цифр и заканчивают деление округляя последний знак, если числа делятся нацело, то округляют следующий за значущей цифрой знак.

3. При возведении приближенных чисел в квадрат и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры. 2,3²= 5,29 5,3; 0,8³= 0,512  0,5.

4. В промежуточных вычислениях результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила, а округление производить после окончания вычислений.

6. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с n цифрами данные следует брать с таким чис­лом цифр, которое дает согласно перечисленным правилам n + 1 цифру в результате.

Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя суще­ствуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычис­ления способом подсчета цифр — самый грубый способ оценки погреш­ности результата действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.

В ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей, а также логарифмическим методом.