Задания для самостоятельной работы

1. Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом разделения переменных

1. Дать физическое истолкование следующих граничных условий в за­дачах теплопроводности и диффузии:

а) ;

б) ;

в) , ( ).

2. Решить начально-краевую задачу на отрезке:

, , , , ,

, .

3. Решить задачу об остывании равномерно нагретого однородного стержня при нулевой температуре на концах, предполагая отсутствие те­плообмена на боковой поверхности.

4. Найти температуру стержня, начальная температура кото­рого равна нулю, а граничные условия имеют вид

, ,

где , и – постоянные.

5. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке:

, , ;

, ;

, , .

6. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке:

, , ;

, ;

, , .

7. Решить начально-краевую задачу в единичном круге:

, , , ;

, , ;

, , .

8. Решить начально-краевую задачу в круге:

, , , ;

, , ;

, , .

9. Решить начально-краевую задачу в круге:

, , , ;

, , ;

, , .

10. Решить начально-краевую задачу в круговом кольце:

, , , ;

, , ;

, , , .

11. Решить начально-краевую задачу в шаре радиуса :

, , ;

, ;

, .

12. Решить начально-краевую задачу в шаре :

, , ;

, ;

, .

13. Решить начально-краевую задачу в шаре :

, , ;

, ;

, .

14. Решить начально-краевую задачу в шаре :

, , ;

, ;

, .

2. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

Рассмотрим начальную задачу на бесконечной прямой для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Введём обозначения , . Начальная задача ставится следующим образом:

, , .

(7.6)

Классическим решением задачи (7.6) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой называется функция , непрерывная в замкнутой области , имеющая непрерывные производные первого порядка по и второго порядка по в открытой области , удовлетворяющая в уравнению теплопроводности и при начальному условию.

Если функция непрерывна и ограничена в , а функция непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в , то задача (7.6) имеет единственное классическое решение.

В случае менее гладких функций и задача (7.6) может иметь обобщённое решение.

Для решения начальной задачи (7.6) удобно использовать метод интегрального преобразования Фурье.

В качестве примера с помощью преобразования Фурье рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой и запишем для её решения формулу Пуассона.

Для решения задачи (7.6) применим преобразование Фурье с ядром . Обозначим через , и образы Фурье функций , и соответственно

,

,

.

Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье (это заведомо выполнимо для классического решения задачи(7.6)) и что функция и её частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при . Предположим также, что интеграл для можно дифференцировать по переменной под знаком интеграла.

Умножим уравнение теплопроводности и начальное условие на и интегрируем по от до . Проинтегрировав затем полученный в правой части интеграл дважды по частям и учитывая, что подстановка на обратятся в нуль, получим следующую задачу Коши в пространстве образов:

, ,

.

Решение этой задачи записывается с помощью импульсной функции в следующем виде:

.

Подставим выражения для образов Фурье и и вернёмся к оригиналу, используя формулу обратного преобразования Фурье.

Меняя порядок интегрирования, получим

.

Обозначим

.

Используя интеграл¹

,

будем иметь

.

(7.7)

Функция , определяемая формулой (7.7), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.

Итак, решение задачи (7.6) представляется формулой

.

(7.8)

Отметим, что в силу линейности задачи (7.6) решение (7.8) представляет сумму решений двух задач. Функция

(7.9)

даёт решение начальной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием , а функция

(7.10)

– решение задачи для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием. Интеграл (7.10) называется интегралом Пуассона.

Рассмотрим примеры решения начальных задач для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.

1. Решить задачу об остывании однородного бесконечного стержня, если тепловой режим определяется кусочно-постоянной начальной функцией следующего вида:

Начальной задачей, описывающей процесс остывания стержня, является задача для однородного уравнения теплопроводности

,

.

Решение. Воспользуемся формулой (7.10) и сделаем замену :

.

Учтём теперь, что имеет место формула (интеграл Пуассона)

,

и введём функцию ошибок

.

(7.11)

Очевидно, , . Легко показать, что функция нечётная:

.

Отсюда .

С помощью функции ошибок ответ задачи можно записать в виде

.

(7.12)

Отметим, что начальная функция не является непрерывной, а претерпевает разрыв в точке . В этом случае решение задачи Коши, представимое интегралом Пуассона (7.10), уже не будет классическим, а имеет особую точку . Проанализируем поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в особой точке, используя формулу (7.12).

Пусть . Тогда, переходя к пределу при , получим, что , и . Пусть . Тогда , и . Перейдём в формуле (7.12) к пределу сначала при , а затем при . В результате будем иметь . Из приведённых рассуждений вытекает, что значение решения задачи Коши в особой точке в начальный момент времени зависит от способа перехода к пределу:

, , .

Более того, если рассмотреть одновременный переход к пределу при , вдоль кривой , где , то с помощью формулы (7.12) получим

,

и при получим любое значение, заключённое в пределах от до , поскольку .

Можно показать, что если функция – кусочно-непрерывная и ограниченная на прямой функция с конечным числом точек разрыва, то формула (7.12) определяет решение однородного уравнения теплопроводности при , , ограниченное при и непрерывно примыкающее к функции в точках её непрерывности.

2. Решить задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

, , ,

.

Решение. Воспользуемся формулой (7.10) при :

.

Для выполнения интеграла в правой части формулы рассмотрим интеграл

.

Имеем

,

откуда, обозначая

,

получим

.

Таким образом,

.

(7.13)

Заметим, что в отличие от предыдущей задачи начальная функция является непрерывной всюду на бесконечной прямой . Формула (7.13) представляет собой классическое решение задачи, непрерывно примыкающее к начальной функции:

.

15. Решить начальную задачу на бесконечной прямой:

, , ;

, .

16. Решить начальную задачу на бесконечной прямой:

, , ;

, .

17. Решить начальную задачу на бесконечной прямой:

, , ;

, .

18. Решить начальную задачу на бесконечной прямой:

, , ;

, .

19. Решить начальную задачу на бесконечной прямой:

, , ;

, .

20. Решить начально-краевую задачу на полупрямой:

, , , ;

, ;

, .

21. Решить начально-краевую задачу на полупрямой:

, , ;

, ;

, .

22. Решить начально-краевую задачу на полупрямой:

, , ;

, ;

, .