Ставропольский государственный университет Кафедра теоретической физики Практическое занятие 6.
Тема: УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
Смерек Ю.Л.
Ставрополь – 2009.
Цель: Освоить основные методы решения краевых задач для однородных и неоднородных уравнений параболического типа. Освоить методы исследования физических процессов диффузии, теплопроводности и т.д., приводящих к краевым задачам для уравнений параболического типа.
Формы работы:
Самостоятельное изучение рекомендованной литературы.
Выполнение коллективных и индивидуальных заданий.
Отчет:
Ответы на контрольные вопросы.
Защита результатов выполнения коллективных и индивидуальных заданий.
Задача для уравнения теплопроводности в ограниченной области с однородными граничными условиями
Рассмотрим начально-краевую задачу с однородными граничными условиями
-
,
,
,
,
,
,
.(7.1)
Решение этой задачи можно представить в виде разложения
,
коэффициенты
которого являются решениями задачи
Коши
,
, 
, 
,
где
и
– собственные функции и собственные
значения соответствующей задачи
Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа,
-
,(7.2)
.(7.3)
Решение задачи Коши для можно записать в виде
-
,(7.4)
где
– импульсная функция Коши.
Таким образом, решение начально-краевой задачи с однородными граничными условиями можно записать в виде
-
,(7.5)
где значения
и
определяются формулами (7.2), (7.3). Легко
видеть, что первое слагаемое – решение
неоднородного уравнения с нулевыми
дополнительными условиями.
Рассмотрим примеры решения задач.
Решить задачу для уравнения теплопроводности на отрезке
:
,
,
,
,
.
Решение. Граничные условия – однородные условия Дирихле. Поэтому решение будет представлено в виде разложения по собственным функциям отрезка с граничными условиями Дирихле, которые имеют вид
,
.
Поскольку уравнение однородное, решение задачи можно записать в виде
,
где
Следовательно,
.
Обратим внимание на то обстоятельство,
что полученный ряд тем быстрее сходится,
чем больше
,
так что при достаточно больших
можно ограничиться несколькими первыми
членами ряда. Кроме того, видно, что
скорость сходимости ряда зависит от
скорости нарастания собственных значений
с увеличением индекса, т.е. от размеров
области. Это обстоятельство характерно
и для более сложных рядов, дающих решение
уравнения теплопроводности.
Решить задачу для уравнения теплопроводности внутри круга
,
, 
.
Решение. Поскольку уравнение однородное, решение записывается в виде
,
где
– собственные функции круга с граничным
условием Дирихле. Они имеют вид
, 
,
где
есть решение уравнения
.
Поэтому решение удобнее записать в
развёрнутом виде:
.
Коэффициенты
и
определяются из начального условия
.
Отсюда сразу получаем
при всех
,
,
при
,
,
.
Следовательно
.
Решить задачу для неоднородного уравнения внутри круга :
,
,
, 
.
Решение. Уравнение теплопроводности решается внутри круга с однородными условиями Дирихле. Следовательно, разложение нужно вести по собственным функциям задачи Дирихле для круга, которые имеют вид
,
,
где являются корнями уравнения
.
Начальное условие нулевое, правая часть
уравнения
не зависит от угла
.
Следовательно, решение тоже не зависит
от угла
и записывается в виде
,
где
есть решение задачи Коши
,
,
,
а
определяется соотношением
.
Решение задачи для имеет вид
.
Следовательно,
.