Задания для самостоятельной работы

1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона

1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга , со следующими граничными условиями:

а) ; б) ;

в) ; г)  .

2. Найти функцию , гармоническую внутри круга радиуса и при­нимающую на окружности значения:

а) ; б) .

3. Решить уравнение для круга радиуса при граничном усло­вии .

4. Решить уравнение для круга радиуса с центром в начале координат при граничном условии .

5. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга: , со следующими граничными условиями:

а)  ; б) ;

в)  ; г)  .

6. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри секто­ра: , со следующими граничными условиями:

а) , ; б) , , ;

в) , ; г) , .

7. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кольце: , со следующими граничными условиями:

а) , ; б)  , ;

в)  , ; г)  , .

8. Решить уравнение в кольце , если

, .

Начало координат находится в центре кольца.

9. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри коль­цевого сектора: , со следующими граничными условиями:

а)  , , ;

б)  , , ;

в)  , , ;

г)  , .

10. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в прямоуголь­нике: , со следующими граничными условиями:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , .

11. Найти решение уравнения Лапласа в полуплоскости с граничным условием

12. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в прямоуголь­ном параллелепипеде: , , со следующими граничными условиями:

а) , , , ;

б) , ;

в) , .

13. Найти стационарное распределение температуры внутри прямо­угольного параллелепипеда, два основания которого ( и ) теплоизолированы, а на остальной поверхности поддерживается по­стоянная температура .

14. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри пря­мого кругового цилиндра , со следующими граничными условиями:

а)  , ; б)  , , ;

в)  , , ; г)  , .

15. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямо­го цилиндра высоты , в основании которого лежит круговой сектор , со следующими граничными условиями:

а) , , ;

б)  , , ;

в)  , , , ;

г)  , , , .

16. Решить неоднородное уравнение

в неограниченной цилиндрической области при нулевых граничных услови­ях (первого или второго рода) и построить функцию источника.

17. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри пря­мого кругового тора прямоугольного сечения: , , со следующими граничными условиями:

а)  , , ;

б)  , , ;

в)  , , .

18. Решить краевую задачу для сектора прямого кругового тора прямоугольного сечения: , , со следующими граничными условиями:

а)  , , , ;

б)  , , , ;

в)  , , , .

19. Найти стационарное распределение температуры внутри пря­мого цилиндра произвольного поперечного сечения, боковая поверх­ность которого теплоизолирована, на нижнем основании ( ) под­держивается постоянная температура , на верхнем ( ) – по­стоянная температура .

20. Решить внутреннюю задачу Дирихле для шара ( ) с граничными условиями:

а)  ; б) ;

в)  ; г)  .

21. Найти гармоническую внутри сферы функцию, равную на одной половине сферы и на второй половине сферы.

22. Решить внутреннюю задачу Неймана для шара ( ) с граничными условиями:

а) ; б) ;

в) .

23. Решить внутреннюю третью краевую задачу для шара ( ) с граничными условиями:

а)  , ;

б)  , ;

в)  , .

24. Решить внешнюю задачу Дирихле для шара ( ) с гранич­ными условиями, указанными в задаче 19.

25. Решить внешнюю задачу Неймана для шара ( ) с гранич­ными условиями, указанными в задаче 21.

26. Решить уравнение Лапласа внутри шарового слоя ( ) с граничными условиями:

а) , ;

б)  , ;

в) , ;

г)  , ;

д) , .