§ 15. Задача Штурма-Лиувилля для шарового слоя
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для шарового слоя ( ):
-
в ,
(4.94)
, ,
(4.95)
,
,
.
Записывая решение в виде
-
,
(4.96)
подставляя в уравнение (4.94) и разделяя переменные, получим задачу Штурма-Лиувилля для функции на сфере :
, , ,
-
,
(4.97)
, ,
и задачу Штурма-Лиувилля для функции на отрезке :
-
,
(4.98)
,
,(4.99)
, , .
Собственными функциями задачи (4.97) являются сферические функции
-
(4.100)
а собственные значения равны
, , .
Общее решение уравнения (4.98) при имеет вид
-
.(4.101)
Подставляя (4.101) в граничные условия (4.99), получим
-
(4.102)
где
,
,
,
.
Приравнивая нулю определитель системы (4.102), получаем дисперсионное уравнение для определения
,
-й корень которого равен . Из системы (4.102) имеем
.
Поскольку решение задачи Штурма-Лиувилля
определяется с точностью до постоянного
сомножителя, имеется возможность
произвольного выбора коэффициента
.
Полагая
,
запишем собственную функцию задачи
(4.98)–(4.99) в виде
-
.(4.103)
Таким образом, собственные функции шарового слоя можно записать в виде
-
(4.104)
а собственные значения равны .
Задания для самостоятельной работы
Решить задачу Штурма-Лиувилля для шаровой оболочки с граничными условиями:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Контрольные вопросы
Понятие задачи Штурма-Лиувилля. Основные свойства собственных значений и собственных функций.
Основная идея и расчетная схема метода разделения переменных.
Задача Штурма-Лиувилля для отрезка (общий случай).
Задача Штурма-Лиувилля для отрезка (периодические граничные условия).
Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольника.
Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольного параллелепипеда.
Задача Штурма-Лиувилля для круга.
Задача Штурма-Лиувилля для кругового кольца.
Задача Штурма-Лиувилля для кругового сектора.
Задача Штурма-Лиувилля для кольцевого сектора.
Задача Штурма-Лиувилля для цилиндра.
Задача Штурма-Лиувилля для цилиндрического сектора.
Задача Штурма-Лиувилля для тора прямоугольного сечения.
Задача Штурма-Лиувилля для сектора кругового тора прямоугольного сечения.
Задача Штурма-Лиувилля для шара.
Задача Штурма-Лиувилля для шарового слоя.
Использование метода разделения переменных при решении краевых задач для неоднородных уравнений.
Решение краевых задач с неоднородными граничными условиями.