Задания для самостоятельной работы

8. Решить задачу Штурма-Лиувилля для сектора прямого кругового цилиндра: , , граничными условиями:

а) , – полная поверхность;

б) , – полная поверхность;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , ;

е) , ,

§ 12. Задача Штурма-Лиувилля для кругового тора прямоугольного сечения

Пусть – круговой тор прямоугольного сечения: , , . Задача Штурма-Лиувилля имеет вид

в ,	(4.75)
, ,	(4.76а)
, ,	(4.76б)
.	(4.76в)

Решая задачу (4.75)–(4.76) так же, как соответствующую задачу для цилиндра, получим, что собственная функция представима в виде

(4.77)

Собственные значения, соответственно, равны

,

(4.78)

где и – собственные значения кругового кольца и отрезка соответственно.

Задания для самостоятельной работы

9. Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямого кругового тора прямоугольного сечения: , , с граничными условиями:

а) условия Дирихле;

б) условия Неймана;

в) , ;

г)  , ;

д) , ;

е)  , .

§ 13. Задача Штурма-Лиувилля для сектора кругового тора прямоугольного сечения

Пусть – сектор кругового тора прямоугольного сечения: , , . Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля

в ,	(4.79)
, ,	(4.80а)
, ,	(4.80б)
, .	(4.80в)

Решая эту задачу аналогично тому, как это сделано для случая цилиндрического сектора, получим, что собственные функции представимы в виде

(4.81)

Собственные значения, соответственно, равны

,

(4.82)

где и – собственные значения кольцевого сектора и отрезка соответственно.

§ 14. Задача Штурма-Лиувилля для шара

Перейдем к исследованию систем, обладающих сферической симметрией. Пусть – шар радиуса : , , с началом в центре шара. Задача Штурма-Лиувилля для такой системы имеет вид:

в ,	(4.83)
, .	(4.84)

Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиаль­ную переменную :

.

(4.85)

Подставляя (4.85) в уравнение (4.84), записанное в сферической си­стеме координат, и разделяя переменные, получим

.

(4.86)

Здесь введено обозначение

.

(4.87)

Собственные функции должны быть ограничены в и периодичны по с периодом . Поэтому из (4.86) для функции получаем задачу Штурма-Лиувилля

, , ,

,

, , ,

собственными функциями которой являются сферические функции:

(4.88)

а собственные значения равны

, , .

Для каждого из (81) получаем уравнение для :

,

(4.89)

решение которого должно удовлетворять согласно (4.84) граничному условию при :

и естественному условию ограниченности при :

.

С помощью замены

задача для приводится к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

,	(4.90)
, .	(4.91)

Общее решение уравнения (4.90) имеет вид

.

Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ограничен­ности, находим . Для определения из (4.91) получаем диспе­рсионное уравнение

,

-й корень которого при фиксированном обозначим через . Тогда функцию можно записать в виде

.

(4.92)

Таким образом, собственная функция шара имеет вид

(4.93)

а собственные значения равны .

Легко заметить, что каждому собственному значению соответствуют линейно независимых собственных функций.