Задания для самостоятельной работы

4. Решить задачу Штурма-Лиувилля для кругового сектора , с граничными условиями:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , , .

§ 8. Задача Штурма-Лиувилля для кругового кольца

Перейдем к вычислению собственных функций кругового кольца. Пусть – круговое кольцо: , . Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля

в ,	(4.51)
,	(4.52а)
, .	(4.52б)

Представляя искомое решение в виде произведения , подставляя в уравнение (4.7) и разделяя переменные, получаем задачи для функ­ций и :

, ,	(4.53а)
,	(4.53б)
	(4.53в)

и

, , .

(4.54)

Решение задачи (4.54) получено ранее. Ее собственные значения и соб­ственные функции соответственно равны

, ,

(4.55)

Общее решение уравнения (4.53а) при имеет вид

.

(4.56)

Подставляя (51) в граничные условия (4.53б)–(4.53в), получим

.

(4.56)

(4.57)

или, более кратко,

(4.57*)

Си­стема (4.57*), составленная относительно и , имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:

.

(4.58)

Выражение (4.58) представляет собой трансцендентное уравнение относительно , -й корень которого при фиксированном равен .

При выполнении условия (4.58) из системы (4.57*) находим

.

Подставляя полученное выражение в (4.57), находим ненулевое решение задачи (4.53):

.

(4.59)

Окончательно получаем следующее выражение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для кругового кольца

(4.60)

собственные значения которой равны .

Задания для самостоятельной работы

5. Решить задачу Штурма-Лиувилля для кругового кольца , с граничными условиями:

а) ; б) ;

в) , , .

§ 9. Задача Штурма-Лиувилля для кольцевого сектора

Пусть – круговой кольцевой сектор: , . Соответствующая задача Штурма-Лиувилля имеет вид

в ,	(4.61)
,	(4.62а)
,	(4.62б)
,	(4.62в)
,	(4.62г)

где , , .

Представляя решение в виде

,

и разделяя переменные, получаем две краевые задачи для и . Первая задача является задачей Штурма-Лиувилля для отрезка :

, , .

Ее собственые функции имеют вид (4.46), а собственные значения определяются из трансцендентного уравнения (4.47).

Краевая задача для (задача Штурма-Лиувилля на отрезке для оператора Бесселя), имеет вид

, ,

, .

Решение этой краевой задачи также осуществлено выше. Собственные функции определяются выражением (4.59), а собственное значения является -м корнем уравнения (4.58) при фиксированном .

Итак, собственные функции кругового кольцевого сектора имеют вид

(4.63)

а собственные значения равны .