§ 6. Задача Штурма-Лиувилля для круга

Найдем собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля для круга радиуса :

, ,	(4.30)
, , .	(4.31)

Здесь – граница круга.

Введем полярную систему координат с началом в центре круга. Тогда уравнение (4.30) принимает вид

.

(4.32)

Используя метод Фурье, будем искать собственную функцию в виде произведения

.

(4.33)

Подставляя (4.33) в (4.32) и разделяя переменные, получим

.

(4.34)

Рассмотрим уравнение для , которое вместе с требованием периодичности приводит к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

, , .

(4.35)

Решение задачи (31) имеет вид

, .

(4.36)

Рассмотрим уравнение для , которое для каждого принимает вид:

, .

(4.37)

На его решение накладывается граничное условие

, ,

(4.38а)

вытекающее из (27), и естественное условие ограниченности при :

,

(4.38б)

поскольку является особой точкой уравнения (4.37).

Уравнение (4.37) заменой приводится к уравнению Бесселя –го порядка:

,

что позволяет представить его общее решение в виде

.

(4.39)

Учитывая неограниченность функции при и условие (34б), находим . Поскольку собствен­ная функция определяется с точностью до числового множителя, положим . Тогда имеем

.

(4.40*)

Подставляя (4.40*) в граничное условие (4.38а), получим дисперсионное уравнение для определения собственных значений :

.

Здесь штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Обозначим -й корень полученного трансцендентного уравнения при фиксированном через . Тогда для собственных функций задачи (4.37)–(4.38) можно записать

.

(4.40)

Итак, решение задачи Штурма-Лиувилля для круга имеет вид

(4.41)

с собственными значениями .

§7. Задача Штурма-Лиувилля для кругового сектора

Пусть –круговой сектор: , ; – граница области . Тогда задача Штурма-Лиувилля имеет вид

в ,	(4.42)
, ,	(4.43а)
, ,	(4.43б)
, ,	(4.43в)

где – внешняя к единичная нормаль.

Представляя искомую функцию в виде

,

подставляя ее в (4.42)–(4.43) и разделяя переменные, получим отдельно задачи для и :

, , , ,

(4.44)

и

, , , , .

(4.45)

Задача (4.45) есть задача Штурма-Лиувилля для отрезка, рас­смотренная выше. Ее собственные функции имеют вид

(4.46)

а собственные значения определяются из трансцендентного уравнения

(4.47)

Задача для также рассмотрена ранее. Ограниченное решение уравнения задачи (4.44) имеет вид

.

(4.48)

Подставляя (4.48) в граничное условие задачи (4.44), получим трансцендентное уравнение относительно неизвестного :

.

(4.49)

Здесь штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Таким образом, решение задачи (4.44) можно записать в виде

,

где – -й корень уравнения (4.47) при фиксированном .

Итак, собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (4.42)–(4.43) для кру­гового сектора имеют вид

(4.50)

а собственные зна­чения – корни уравнения (4.47).