§ 4. Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольника

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольнике:

, , ,	(4.22)
, ,	(4.23a)
, ,	(4.23б)

где и – постоянные, причем .

Для решения задачи (4.22)–(4.23) воспользуемся методом разделения переменных. Представим ненулевые решения уравнения (4.23) в виде

.

(4.24)

Подставляя (4.24) в (4.22) и разделяя переменные, получим

.

Следовательно, для функции и получаем одномерные за­дачи Штурма-Лиувилля для отрезка:

(4.25)

Здесь . Собственные функции задачи (4.22)–(4.23) получаются в результате подстановки решений задач (4.25) в (4.24), а собственные значения есть сумма собственных значений задач (4.25): .

Таким образом, собствен­ные функции оператора Лапласа для прямоугольника равны про­изведению собственных функций по каждой переменной с соответ­ствующими граничными условиями , а собствен­ные значения равны сумме собственных значений одномерных задач .

Задания для самостоятельной работы

2. Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямоугольника , с граничными условиями:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) по переменной – периодические граничные условия с пери­одом ,

;

д) периодические граничные условия по обеим переменным: по – с периодом , по – с периодом .

§ 5. Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольного параллелепипеда

Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в прямоуголь­ном параллелепипеде имеет вид

, , , ,	(4.26)
, ,	(4.27а)
, ,	(4.27б)
, ,	(4.27в)

, , .

Выполняя последовательное разделение переменных в (4.26)–(4.27), получим три задачи Штурма-Лиувилля для отрезка:

	(4.28а)
	(4.28б)
	(4.28в)

Используя вычисления, аналогичные проведенным в предыдущем пункте, получим выражения собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля для прямоугольного параллелепипеда:

, .

(4.29)

Здесь , , – собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных задач Штурма-Лиувилля по каждой переменной.

Задания для самостоятельной работы

3. Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямоугольного парал­лелепипеда , , с граничными условиями:

а) , , ;

б) , , ;

в) , – полная поверхность параллелепипеда;

г) , , ;

д) , – поверхность параллелепипеда, – внешняя нормаль, .