§ 3. Задача Штурма-Лиувилля для отрезка с периодическими граничными условиями

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля на отрезке с условием периодичности

, ,	(4.10)
при любом , .	(4.11)

Условия периодичности (4.11) можно заменить граничными условиями

, .

(4.12)

Общее решение уравнения (4.10) имеет вид:

.

(4.13)

Подставляя (4.13) условия (4.12), имеем

,

.

Воспользовавшись линейной независимостью функций и , преобразуем полученную систему к виду

(4.14)

Система (14) имеет ненулевое решение только при условии

(4.15)

или

.

(4.15*)

Легко видеть, что решение трансцендентного уравнения (4.15*) имеет вид: , . Тогда при известных система (4.14) имеет два линейно не­зависимых ненулевых решения:

, ,

(4.16)

являющиеся собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля для отрезка с периодическими граничными условиями.

Заметим, что собственному значению соответствует одна соб­ственная функция .

Рассмотрим примеры решения задач.

Решим задачу Штурма-Лиувилля для отрезка.

Найдём собственные значения и собственные функции, являющиеся решениями уравнения:

,

(4.17)

удовлетворяющие однородным граничным условиям:

, .

(4.18)

Будем искать решение уравнения в виде:

.

(4.19)

Найдём первую и вторую производные:

, .

Подставим в уравнение:

.

Отсюда – характеристическое уравнение;

.

Тогда общее решение уравнения (4.17):

.

(4.20)

Используем формулу Эйлера для приведения решения к тригонометрическому виду:

.

Переобозначим константы: , .

Тогда общее решение уравнения (4.17) в тригонометрическом виде имеет вид:

.

(4.21)

Для определения коэффициентов и подставим (4.21) в граничные условия (4.18):

.

Так как задача Штурма-Лиувилля решается с точностью до постоянного коэффициента, положим . Тогда вид функции . подставим во второе граничное условие:

,

,

где – собственные значения задачи Штурма-Лиувилля для граничных условий (4.18).

Тогда собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (4.17) – (4.18) имеют вид:

.

Посчитаем норму:

,

.

Задания для самостоятельной работы.

4.1 Решить задачу Штурма - Леувилля для следующих граничных условий и проверить полученные решения.

Граничные условия	Собственные значения	Собственные функции	Норма
, , ;
, , ;
, , ;
, , ;
, , , , ;
, , , , ;
, , , , , ;
, , , ,
, , , , , .

1. Найти собственные значения и собственные функции отрезка

при граничных условиях:

а) ; б) ;

в) ; г) .