Ставропольский государственный университет Кафедра теоретической физики Практическое занятие 3

Тема: МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.

ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ.

Смерек Ю.Л.

Ставрополь – 2009.

Цель: Освоить использование метода разделения переменных при исследовании систем, обладающих различной геометрической симметрией.

Формы работы:

• Самостоятельное изучение теоретико-методического введения и рекомендуемой литературы.

• Выполнение коллективных и индивидуальных заданий.

Отчет:

• Ответы на контрольные вопросы.

• Защита результатов выполнения коллективных и индивидуальных заданий.

§ 1. Общая постановка задачи Штурма-Лиувилля

В общем случае задача Штурма-Лиувилля имеет следующий вид. Найти собственные значения и собственные функции уравнения

(4.1)

в области , удовлетворяющие граничным условиям

, .

(4.2)

Здесь – линейный дифференциальный оператор, – внешняя нормаль к поверхности , ограничивающую область , (всюду в дальнейшем предполагается, что и – постоянные).

Рассмотрим далее частный случай задачи Штурма-Лиувилля для опера­тора Лапласа ( ).Найти собственные значения и собственные функции уравнения

(4.3)

в области , удовлетворяющие граничным условиям (4.2).

Решение краевой задачи (4.2) – (4.3) существенно зависит от геометрии исследуемой области . Далее рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля в основных канонических двумерных и трехмерных областях.

§ 2. Задача Штурма-Лиувилля для отрезка

В одномерном случае рассмотрим общую схему нахождения соб­ственных функций и собственных значений следующей задачи Штур­ма-Лиувилля

, ,	(4.4)
, ,	(4.5)
, .	(4.6)

Обозначим через фундаментальную систему реше­ний уравнения (4.4). Фундаментальные решения и зависят от как от параметра. Общее решение (4.4) можно записать в виде

.

(4.7)

Подставляя (4.7) в граничные условия (4.5) и (4.6), получим

, .

(4.8)

Соотношения (4.8) представляют однородную систему линей­ных алгебраических уравнений относительно и . Эта система имеет ненулевое решение только в случае равенства нулю ее определителя:

.

(4.9)

Соотношение (4.9) позволяет определить спектр собственных значений и называется дисперсионным уравнением. Пусть – корни уравнения (4.9). Каждому соответствует ненулевое решение уравнения (4.8) и, следовательно, ненулевое ре­шение уравнения (4.4), представимое в виде (4.7).