Индивидуальные задания для самостоятельной работы

1-й вариант

Задача 1. Крутильными колебаниями стержня называют такие колеба­ния, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно от­носительно другого, вращаясь при этом около оси стержня. Вывести уравнение малых крутильных колебаний однородного цилиндричес­кого стержня. Рассмотреть случаи: а) концы стержня свободны; б) концы стержня жестко закреплены; в) концы стержня упруго закреплены.

Задача 2. Кабель, имеющий потенциал , при заземляется на одном конце через сосредоточенную емкость (или индуктивность); другой конец изолирован. Поставить задачу об определении электри­ческого тока в кабеле.

Задача 3. Поставить краевую задачу об остывании тонкого однород­ного кольца радиуса , на поверхности которого происходит конвек­тивный теплообмен с окружающей средой, имеющей заданную темпе­ратуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь.

2-й вариант

Задача 1. Точкам упругого однородного прямоугольного стержня, жест­ко закрепленного на левом конце и свободного на правом, в начальный момент времени сообщены малые поперечные отклонения и ско­рости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии стержня.

Поставить краевую задачу для определения поперечных отклоне­ний точек стержня при , предполагая, что стержень совершает малые поперечные колебания.

Задача 2. Поставить краевую задачу о малых радиальных колебани­ях идеального однородного газа, заключенного в сферическом сосуде радиуса , если начальные скорости и начальные отклонения заданы как функции от .

Задача 3. Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тя­жести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты и от времени . Написать граничное условие, соответствующее непро­ницаемой перегородке.

3-й вариант

Задача 1. Заключенный в цилиндрической трубке идеальный газ совер­шает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не деформируются и все частицы газа дви­гаются параллельно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для определения смещения частиц газа в случаях, когда концы трубки: а) закрыты жесткими непроницаемыми перегородками; б) открыты; в) закрыты поршеньками с пренебрежимо малой массой, насажанными на пружинки с коэффициентами жесткости и скользящими без трения внутри трубки.

Задача 2. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мем­браны, к которой приложено нормальное давление на единицу пло­щади, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембра­ны. Рассмотреть случаи: а) мембрана жестко закреплена на границе ; б) мембрана свободна на ; в) на части границы мембрана закреплена жестко, а на ос­тальной части границы она свободна.

Задача 3. Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагре­того стержня формы усеченного конуса (искривлением изотермичес­ких поверхностей пренебрегаем), если концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

4-й вариант

Задача 1. Начиная с момента времени один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому приложена сила , направленная по оси стержня. В момент времени поперечные сечения стержня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поста­вить краевую задачу для определения малых продольных отклонений точек стержня при .

Задача 2. Поставить краевую задачу о колебании круглой однородной мембраны, закрепленной по краю, в среде, сопротивление которой про­порционально первой степени скорости. В момент времени к поверхности мембраны приложена внешняя сила плотности , действующая перпендикулярно плоскости невозмущенной мембраны. Начальные скорости и отклонения точек мембраны отсутствуют.

Задача 3. Растворенное вещество с начальной плотностью диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями и , в растворитель, ограниченный плоскостями , . По­ставить краевую задачу для процесса выравнивания плотности, пред­полагая, что границы , непроницаемы для вещества.

5-й вариант

Задача 1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны, закрепленной на обоих концах, в среде с сопротивлением, про­порциональным первой степени скорости.

Задача 2. Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой среде. Ис­ходя из уравнений Максвелла вывести уравнения, которым удовлетво­ряют компоненты векторов напряженности электрического и магнит­ного полей для случаев: а) плотность зарядов , , , , (закон Ома); б) среда – вакуум и токи отсутствуют.

Задача 3. Внутри однородного шара начиная с момента времени действуют источники тепла с равномерно распределенной постоян­ной плотностью . Поставить краевую задачу о распределении тем­пературы при внутри шара, если начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки до центра шара. Рассмотреть случаи: а) на поверхности шара поддерживается нулевая температура; б) на поверхности шара происходит теплообмен (по закону Ньюто­на) с окружающей средой нулевой температуры.

6-й вариант

Задача 1. Составить уравнение продольных колебаний стержня, у которого площадь поперечного сечения есть заданная функция от , считая материал стержня однородным.

Задача 2. Поставить задачу о проникновении магнитного поля в пра­вое полупространство, заполненное средой с проводимостью , если начиная с момента времени на поверхности поддержи­вается напряженность магнитного поля , направленная параллельно поверхности.

Задача 3. Дан однородный шар радиуса с начальной температурой, равной нулю. Поставить краевую задачу о распределении температу­ры при внутри шара, если: а) шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком ; б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой зависит только от времени.

7-й вариант

Задача 1. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упру­гого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стерж­ня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя тем, что его точкам в момент времени сообщены начальные скорости и продольные отклонения. Длина стержня равна , радиусы оснований , ( ), материал стержня однороден. Деформацией поперечных сечений пренебречь.

Задача 2. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня с теплоизолированной боковой поверхностью. Рас­смотреть случаи: а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре; б) на концах стержня поддерживается заданный тепловой поток; в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.

Задача 3. Начальная температура неограниченной пластины толщи­ны равна нулю. Поставить краевую задачу о распределении тем­пературы при по толщине пластины, если: а) пластина нагревается с обеих сторон равными постоянными тепловыми потоками ; б) в пластине начиная с момента времени действует источ­ник тепла с постоянной плотностью , а ее основания поддерживают­ся при температуре, равной нулю.

8-й вариант

Задача 1. Пусть в точке бесконечной однородной струны нахо­дится шарик массы . Начальные скорости и начальные отклонения точек струны равны нулю. Поставить краевую задачу для определе­ния отклонений точек струны от их положения равновесия в следую­щих случаях: а) начиная с момента времени на шарик действует сила ; б) в начальный момент времени шарик получает импульс в поперечном направлении; в) шарик в случае г) закреплен упруго с эффективной жест­костью .

Задача 2. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предпо­лагая, что поверхностями равной плотности в каждый момент време­ни являются плоскости, перпендикулярные к оси . Написать гра­ничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое . Рассмотреть случаи: а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего ве­щества поддерживается равной нулю; б) граничные плоскости непроницаемы; в) граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена.

Задача 3. Неограниченный цилиндр радиуса имеет начальную тем­пературу . Поставить краевую задачу о радиальном распростра­нении тепла, если: а) боковая поверхность поддерживается при постоянной темпе­ратуре; б) с боковой поверхности происходит лучеиспускание в окружаю­щую среду нулевой температуры.

9-й вариант

Задача 1. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреп­лен, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорос­ти. Сопротивлением среды пренебречь.

Задача 2. Вывести уравнение диффузии распадающегося газа (коли­чество распавшихся молекул в единицу времени в данной точке пропорционально плотности с коэффициентом пропорциональности ).

1.49. Два полуограниченных стержня, сделанных из разных ма­териалов, в начальный момент времени приведены в соприкосновение своими концами. Поставить краевую задачу о распределении тепла в бесконечном стержне, если известны начальные температуры каждого из двух полу ограниченных стержней.

10-й вариант

Задача 1. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяже­лой однородной струны относительно вертикального положения рав­новесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.

Задача 2. Дан тонкий однородный стержень длиной , начальная тем­пература которого . Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на конце поддерживается постоян­ная температура , а на боковой поверхности и на конце происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой нулевой температуры.

Задача 3. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры в тонкой прямоугольной пластине со сторонами , , если: а) на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные тем­пературы; б) на сторонах и заданы тепловые потоки, а стороны и теплоизолированы.