Примеры

1. Привести к каноническому виду дифференциальное уравнение

.

◊ В нашем случае , , . Так как , то данное уравнение является уравнением гиперболического типа на всей плоскости . Составим характеристическое уравнение: . Оно распадается на два: , . Интегрируя их, соответственно получаем: , . Введём новые переменные по формулам , . Вычислив производные:

; ,

найдём

.

Аналогично

; .

Подставив в исходное уравнение найденные значения производных, получим

.

2. Найти общее решение уравнения

.

◊ Так как , то данное уравнение является уравнением параболического типа на всей плоскости . Приведём его к каноническому виду. Запишем характеристическое уравнение: , откуда . Решив последнее уравнение, получим только одно семейство характеристик . Примем . Произведя замену переменных по формулам , , будем иметь:

; ; ;

; .

Подставив найденные значения производных в исходное уравнение, найдём . Проинтегрировав его, получим . Заменив на найдём общее решение исходного уравнения:

.

3. Привести к каноническому виду уравнение

.

◊ Так как , то данное уравнение является уравнением параболического типа на всей плоскости . Приведём его к каноническому виду. Запишем характеристическое уравнение: , откуда , . Найдём общий интеграл первого уравнения: . Произведя замену переменных по формулам , , получим .

Задания для самостоятельной работы

1. Привести к каноническому виду дифференциальное уравнение:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти общее решение уравнения:

а) ;

б) .

3. Привести к каноническому виду уравнения:

а) , б) ,

в) , г)  ,

д) , е)  , ж)  , з)  , и)  .

4. Определить области эллиптичности, гиперболичности и параболичности уравнений математической физики. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнения:

а)  , б)  , в)  , г)  , д)  , е)  ,

ж)  , з)  , и)  , к)  , л)  , м)  ,

н)  , о)  ,

п)  , р)  ,

с)  , т)  , у)  , ф)  , х)  , ц)  ,

ч)  .

5. Привести к каноническому виду уравнения следующие уравнения с постоянными коэффициентами:

а)  ,

б)  ,

в)  ,

г)  , д)  ,

е)  ,

ж)  ,

з)  ,

и) ,

к)  ,

л)  ,

м)  ,

н)  ,

о)  ,

п)  ,

р)  .

6. Доказать, что уравнение с постоянными коэффициентами

заменой приводится к виду

.

7. Найти общее решение следующих уравнений с постоянными коэффициен­тами:

а)  , б)  , в)  , г)  ,

д)  , е)  ,

ж)  , з)  .

2. Постановка краевых задач математической физики

3.8 Найти статический прогиб струны, закрепленной на концах, под действием непрерывно распределенной нагрузки (на единицу длины).

3.9 Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны с насаженной на нее в некоторой внутренней точке бусиной массы .

3.10 Вывести уравнение колебаний струны в упру­гой среде.

3.11 Труба, заполненная идеальным газом и открытая с одного конца, движется поступательно в направлении своей оси с постоянной скоростью . В момент времени труба мгновенно останавливает­ся. Поставить краевую задачу об определении смещения газа внутри трубы на расстоянии от закрытого конца.

3.12 Поставить задачу об определении магнитного поля внутри и вне цилиндрического проводника, по поверхности которого течет ток силой .

3.13 Поставить задачу об определении температуры в бесконеч­ном тонком теплоизолированном стержне, по которому с момента в положительном направлении со скоростью начинает двигаться точечный тепловой источник, дающий единиц тепла в единицу вре­мени.

3.14 Дана тонкая прямоугольная пластина со сторонами , , для которой известно начальное распределение температуры. Поставить краевую задачу о распространении тепла в пластине, если боковые стороны поддерживаются при температуре

, ,

, .

3.15 Начальное распределение температуры в однородном шаре задано функцией . Поставить краевую задачу о распределе­нии тепла в шаре, если поверхность шара поддерживается при посто­янной температуре .

3.16 На плоскую мембрану, ограниченную кривой , действует стационарная поперечная нагрузка с плотностью . Поставить краевую задачу об отклонении точек мембраны от плоскости, если: а) мембрана закреплена на краю; б) край мембраны свободен; в) край мембраны закреплен упруго.