Ставропольский государственный университет Кафедра теоретической физики Практическое занятие 2

Тема: ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

Смерек Ю.Л.

Ставрополь – 2009.

Цель: Развить навык построения краевых задач, описывающих физические процессы колебаний, теплопроводности и т.д., а также их упрощения путем приведения уравнений математической физики к каноническому виду.

Формы работы:

• Выполнение коллективных и индивидуальных заданий.

Отчет:

• Ответы на контрольные вопросы.

• Защита результатов выполнения коллективных и индивидуальных заданий.

Теоретико-методическое введение и коллективные задания

1. Канонический вид уравнений математической физики второго порядка

Дифференциальное уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и её частных производных.

Если искомая функция зависит только от двух независимых переменных x и y, то такое уравнение имеет вид

,

(3.1)

где , , , , , – коэффициенты, являющиеся вещественными числами или функциями от x и y; – правая часть уравнения.

Если , то уравнение (3.1) называется однородным, если же , – то неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных.

Будем считать, что , , – либо вещественные числа, либо функции от x и y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно в областизадания уравнения.

Пусть в области задано уравнение (3.1). Говорят, что оно в этой области является уравнением:

• гиперболического типа, если ;

• параболического типа, если ;

• эллиптического типа, если .

Для того, чтобы привести уравнение (3.1) к каноническому виду, надо составить его характеристическое уравнение

,

которое распадается на два уравнения:

,	(3.2)
,	(3.3)

и найти общие интегралы последних.

Интегральные кривые уравнений (3.2) и (3.3), называются характеристиками уравнения (3.1).

Уравнения гиперболического типа. Общие интегралы , уравнений (3.2) и (3.3) вещественны и различны. Они определяют два различных семейства дей­ствительных характеристик для уравнения (3.1). Заменой переменных , уравнение (3.1) приводится к каноническому виду

.

Уравнения параболического типа. Уравнения (3.2) и (3.3) совпадают. Общий интеграл урав­нения (3.2) определяет семейство вещественных характеристик для уравнения (3.1). Заменой переменных , , где – любая гладкая функция такая, что эта замена переменных взаимно однозначна в рассматриваемой области, уравнение (3.1) при­водится к каноническому виду

.

Уравнения эллиптического типа. Общие интегралы уравнений (3.2) и (3.3) комплексно-сопряжённые:

, ,

где и – вещественные функции, определяющие два семейства мнимых характеристик уравнения (3.1). Тогда заменой пере­менных , уравнение (3.1) приводится к канони­ческому виду

.