Лекция 6.
Расчет матриц жесткости и податливости в случае разворота базовой системы координат
Нам необходимо по известной матрице жесткости, определенной во 2-ой системе координат (O2X2Y2Z2) , определить матрицу жесткости в 3-ей системе координат (O3X3Y3Z3).
Проведем вывод формул для расчета матрицы жесткости в новой базовой системе координат.
;
;
Заметим
;
; 
;
P{2}=D23P{3}
D23 – матрица направляющих косинусов (матрица перехода); полностью и однозначно характеризует взаимное угловое положение двух систем координат.
;
;
Отметим, что
D23=D32T=D32-1
( 6.1)
Матрицы направляющих косинусов принадлежат классу ортонормированных матриц, для которых справедливо равенство (6.1).
Для величин, заданных во второй и третьей системах координат, характерны следующие выражения:
; 
;
; 
;
(6.2)
Запишем уравнения равновесия в матричной форме:
(6.3)
где
;
;
.
В
блочном виде уравнение равновесия
(6.3) при
и
будет иметь следующий вид:
При
.
(6.4)
При
.
(6.5)
Для решения поставленной задачи (определения формул для перехода из исходной в новую базовую систему координат ) подставим выражения (6.2) в систему уравнений (6.4):
.
Умножим
слева левую и правую часть этих
уравнений на
:
.
Так
как согласно выражению (6.1)
,
то окончательно уравнения равновесия получим в следующем виде:
. (6.6)
Сравнив выражения в системах уравнений (6.5) и (6.6), составленные для одного и того же упругого элемента, получим формулы пересчета матрицы жесткости в новой базовой системе координат с осями, развернутыми относительно исходной системы координат:
;
C(3)ij=D32C(2)ijD23
(
).
Формулы для расчета матрицы податливости в случае разворота осей базовой системы координат получаем аналогично:
;
;
; 
.
При
.
При
;
(6.7)
;
;
;
.
(6.8)
Сравнивая выражения (6.7) и (6.8), приходим к выводу, что
,
где
(
).
Лекция 7. Рассмотрим вопрос определения матрицы направляющих косинусов.
можно
получить с помощью формул сферической
тригонометрии (теорема косинусов).
Но это очень громоздкие формулы, зато матрицы направляющих косинусов между смежными системами координат имеют достаточно простой вид.
Тремя последовательными поворотами вокруг осей x,y,z можно всегда совместить две произвольные системы координат, имеющие общее начало координат.
;
;
.
Для матриц направляющих косинусов справедливо:
Dij=DikDklDlj
Значит
D47=D45D56D67