Лекция 4. Матрицы и простейшие операции над матрицами
Матрицей
размера
называется
упорядоченный массив чисел, состоящий
из m
строк и n столбцов.
В
случае равенства строк и столбцов (m=n)
матрица носит название квадратной
матрицы (
).
В
случае, когда
,
такая матрица называется диагональной.
- такая матрица называется
нулевой.
Матрица
размера
называется вектор- столбец.
Матрица
размера (
)
называется вектор- строка .
Суммой
матриц А+В=
С
является матрица С,
элементы которой определяются по закону
.
Если
в любой матрице строки и столбцы поменять
местами, то получим транспонированную
матрицу
.
При
перемножении двух матриц С=А*В
необходимо, чтобы количество столбцов
матрицы А
совпадало с количеством строк матрицы
B (
).
Свойства матричных операций:
.
Если
,
то
,
где
-
соответствующий минор матрицы
.
Расчет матрицы податливости упругого элемента в новой базовой системе координат.
В зависимости от выбора системы координат (СК) матрицы податливости и жесткости будут изменять не только численные значения своих элементов, но и структуру.
Относительное положение любых двух прямоугольных систем координат характеризуется линейным смещением начал координат и угловым смещением осей координат.
Рассмотрим
переход из исходной СК (
)
в новую СК (
)
со смещенным началом координат:
В
матричной форме вектор
имеет вид:
проекции
вектора на оси первой СК.
Отметим,
что
.
Например, в данном рассматриваемом случае:
,
.
Лекция 5.
Рассматривается общий случай относительного смещения начал координат двух СК ( и ).
Поместим в нижнем индексе {i} номер системы координат, в которой матрица определяется, тогда уравнение равновесия будет иметь вид
.
(5.1)
Здесь
- матрица жесткости (матрица
коэффициентов из уравнения равновесия
(5.1));
;
.
При этом
(5.2)
Так как
;
то векторное выражение (5.2) можно записать в следующем матричном виде:
;
(5.3)
где
- кососимметричная матрица;
.
Заметим далее, что
;
;
. (5.4)
Распишем в блочном виде уравнение равновесия (5.1):
;
(5.5)
(5.6)
Выражения (5.5), (5.6) – уравнения равновесия, записанные в первой и второй (исходной и последующей ) системе координат.
Подставим выражения (5.3), (5.4) в уравнение равновесия (5.5):
Приведем эти уравнения к стандартному виду.
Запишем сначала первое уравнение в виде:
.
Подставляем P{2} из первого уравнения в правую часть второго уравнения и переносим соответствующие слагаемые в левую часть второго уравнения:
.
(5.7)
Сравнивая коэффициенты при обобщенных перемещениях в полученной системе (5.7) и в исходной системе (5.6), приходим к окончательным формулам расчета матрицы жесткости в новой системе координат со смещенным началом координат:
Аналогично получаем формулы для расчета матричных блоков матрицы податливости в случае смещения начала координат:
