Лекция 1. Жесткостные характеристики упругих элементов конструкции
Прочность – способность конструкции выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь.
Жесткость – способность конструкции препятствовать изменению формы под действием нагрузки.
Рассмотрим жесткостные характеристики прямолинейного стержня.
Приложим в полюсе систему сил
,
а также
моментов
..
Обозначим:
–поступательное
перемещение полюса (т.О);
–
угловое перемещение полюса
(т.О).
Заметим, что положительным направлением для моментов и углов поворота является направление против часовой стрелки.
;
;
;
;
;
,
(1.1)
где
- модуль упругости I-го рода (модуль
Юнга);
-
модуль упругости II-го рода (модуль
упругости при сдвиге);
-
площадь плоского сечения;
,
- моменты инерции
плоских сечений относительно осей Oy,
Oz;
- момент инерции при
кручении;
,
- коэффициенты формы
при сдвиге;
;
;
;
( для прямоугольного сечения);
(при
;
при
)
;
коэффициент
Пуассона.
Введем следующие обозначения:
Обобщенное перемещение:
.
Обобщенная сила:
.
Запишем перемещение полюса для общего случая формы стержня:
;
;
;
;
;
.
(1.2)
Перепишем уравнения перемещения полюса в координатной форме в следующем виде:
(1.3)
Мы можем записать их в матричной форме:
;
(1.4)
где
;
,
-
матрица податливости
(квадратная матрица размерности (6х6);
(
)
- элементы матрицы податливости.
Матрица податливости Δ однозначно
и полностью описывает жесткостные
характеристики рассматриваемого
упругого элемента (в данном случае
стержня).
Элемент матрицы податливости
(
)
– это величина, численно равная
перемещению в
-ом
направлении при действии единичной
силы в
-ом
направлении:
.
(1.5)
- диагональные элементы
характеризуют податливость стержня в
направлении действующей силы
;
при
- эти элементы характеризуют линейную
податливость стержня (размерность
элементов [м/Н] );
при
- эти элементы характеризуют угловую
податливость стержня (размерность
элементов [1/мН] );
при
,
и при
,
- эти элементы характеризуют перекрестные
связи между угловыми и линейными
перемещениями полюса (размерность
элементов [1/Н] ).
Интеграл Мора, описывающий
перемещение
(
)
произвольной точки
упругого стержня при действии внешней
нагрузки,
где
-
соответствующие внутренние усилия,
возникающие от действия внешней нагрузки;
(
)
- соответствующие внутренние усилия,
возникающие от действия в полюсе
единичной нагрузки
(
).
На основании интеграла Мора
и выражения (1.5) запишем формулу для
определения элементов
(
)
матрицы податливости:
.
(1.6)
Согласно выражения (1.6)
является очевидным, что
(
).
