7

Лекція № 6. «Представлення цілих чисел за допомогою систем числення»

Мета:

Навчальна:

• формування нових знань, умінь і навичок по темі “Представлення цілих чисел за допомогою систем числення”, формування загальнавчальних і спеціальних умінь і навичок, контроль за засвоєнням навчального матеріалу.

Розвиваюча:

• розвивати вміння виділяти головне; розвивати мислення студентів за допомогою аналізу, порівняння й узагальнення досліджуваного матеріалу; самостійність; розвиток мови, емоцій, логічного мислення студентів.

Виховна:

• формувати інтерес до предмета, навички контролю й самоконтролю; почуття відповідальності, ділові якості студентів. Активізація пізнавальної й творчої активності студентів.

План:

1. Системи числення.

2. Кодування цілих додатних чисел у різних системах числення:

   1. Переведення чисел із різних систем числення у десяткову систему числення.

   2. Переведення чисел із десяткової системи числення у 2-ву, 8-ву, 16-ву.

3. Кодування цілих чисел зі знаком.

1. Системи числення.

Система числення це метод представлення чисел, символічними знаками. Термін «число» і термін «цифра» дуже часто плутають. Розділимо ці два терміни. Число це абстрактна сутність, що відбиває певні об'єкти. А цифра це певний символ який використовується для запису «числа».

Всі системи числення, умовно, можна поділити на три категорії. Перші це позиційні системи числення, непозиційні й змішані системи числення.

• Позиційні системи числення. Один і той самий символ, має різне значення залежно від позиції, де він перебувати. Наша десяткова система числення є позиційною. Її перевага це стислість запису й у ній легше робити арифметичні розрахунки. Така система вперше почала застосовуватися вавилонянами й шумерами.

• Непозиційні системи числення. Де від положення запису числа не залежить її величина. Прикладом такої системи може служити римська система числення. Де як цифри використовуються латинські букви.

Приклади непозиційних систем числення: унарная (одинична) система числення, римська система числення, алфавітна система числення.

Унарная (одинична) система числення характеризується тим, що в ній для запису чисел застосовується тільки один вид знаків – паличка. Кожне число в цій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких рівнялася позначуваному числу. Незручності такої системи числення очевидні: це громіздкість запису великих чисел, значення числа одразу не видно, щоб його одержати, потрібно порахувати палички.

У римській системі числення для позначення чисел використовуються заголовні латинські букви, що є «цифрами» цієї системи числення:

1	5	10	50	100	500	1000
I	V	X	L	C	D	M

Число в римській системі числення позначається набором «цифр», що стоять підряд. Значення числа дорівнює: сумі значень декількох однакових «цифр», що ідуть підряд (назвемо їх групою першого виду); різниці значень більших і меншої «цифр», якщо ліворуч від більшої «цифри» стоїть менша (група другого виду); сумі значень груп та «цифр», що не ввійшли в групи першого та другого видів.

Приклади.

1. Число 32 у римській системі числення має вигляд: XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2 (дві групи першого виду)

2. Число 444 у римській системі числення має вигляд: CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4 - три групи другого виду)

3. Число 1974: MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (поряд із групами обох видів у формуванні числа беруть участь окремі «цифри»)

4. Число 2005: MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5 (дві групи першого виду).

• Змішані системи числення. Прикладом такої системи можуть служити грошові знаки. Щоб одержати деяку суму потрібно використати кілька грошових знаків різного достоїнства.

Зараз в усьому світі для запису цифр використовують арабські символи. А як спосіб запису цих цифр використовують позиційну систему числення з підставою десять. Але так було не завжди. Найпростіша система числення існувала ще в найглибшій стародавності. У залежності яке число потрібно записати, стільки покладуть каменів або стільки зроблять зарубок на колоді. Це найпростіша система й вона не позиційна. Це одинична (унарная) система числення тому що її підстава одиниця.

Історія найдавніших систем числення

Одна з найдавніших систем числення й форм запису чисел була придумана, Єгиптянами, близько 5 000 років тому.

Позначення	Число	Опис
	1	Як і більшість цивілізацій, для розрахунку невеликої кількості предметів, Єгиптяни використали вертикальні риски. Коли рисок потрібно намалювати трохи, то їх зображували у два ряди, з огляду на правило, у нижньому повинно бути стільки ж рисок скільки й у верхньому, або на одну більше.
	10	Таким чином єгиптяни зв'язували корів. Якщо потрібно зобразити кілька десятків, то ієрогліф повторювали потрібну кількість разів. Теж саме відноситься й до інших ієрогліфів.
	100	Так виглядала мірна мотузка, що застосовувалася для виміру ділянок землі після розливу Нілу.
	1 000	Ви коли-небудь бачили квітучий лотос? Якщо ні, то вам ніколи не зрозуміти, чому Єгиптяни привласнили таке значення зображенню цієї квітки.
	10 000	"У більших числах будь уважний!" - говорить піднятий нагору вказівний палець.
	100 000	Це пуголовок. Звичайний жаб'ячий пуголовок.
	1 000 000	Побачивши таке число звичайна людина дуже здивується та здійме руки до неба. Це й зображує цей ієрогліф.
	10 000 000	Єгиптяни поклонялися Амону Ра, богові Сонця, і, напевно, тому найбільше своє число вони зобразили у вигляді висхідного сонця

Найпоширеніші позиційні системи числення:

• 1 – одинична система числення

• 2 – двійкова система числення

• 3 – трійкова система числення

• 8 – вісімкова система числення

• 10 – десяткова система числення

• 12 – дванадцятькова система числення

• 16 – шістнадцятькова система числення

• 60 – шістдесяткова система числення

Позиційні системи числення дають не спростовні переваги. Перше, вони компактні. Друге, над ними легше робити арифметичні розрахунки. Незручно вважати в римській не позиційній системі. XII * V = LX. Набагато зручніше 12 * 5 = 60.У позиційній системі на підставі n, використовують числа від 0 до n-1. Кількість цифр використовуваних у системі називається її підставою. Так для двійкової 0, 1 для десяткової 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ми рахуємо в десятковій, а обчислювальні пристрої у двійковій. Нуль й один служать аналогом для понять: «є сигнал» / «немає сигналу». Програмістам, яким доводитися працювати з обома системами, знайшли для себе проміжний «буфер». Це вісімкова та шістнадцятькова система. Числа записані в цих системах легко переводяться у двійкову й десяткову і навпаки.

Де застосовуються й використаються системи числення?

• У Стародавньому Вавилоні використовувалася система числення з підставою 60. Діленням години на 60 хвилин, а хвилина на 60 секунд ми зобов'язані цій системі числення.

• Той факт, що підставою використовуваної нами системою числення є число 10, розуміється тим, що природа наділила нас десятьма пальцями на руках і ногах.

• Система гадання китайської «Книги змін» («И-Цзин»), що йде коріннями в глибоку стародавність, при уважному аналізі виявляє у своїй основі двійкову систему числення й позиційний принцип запису числа

• На островах Океанії використається одинадцятькова система числення.

• Японці використають п’ятіркову систему числення

• Вимір часу й градусної міри кутів ґрунтується на шістдесятковій системі числення древніх шумерів

• Дванадцятькова система числення: на її широке використання в минулому явно вказують назви числівників у багатьох мовах, а так само збережені в ряді країн способи відліку часу, грошей і співвідношення між деякими одиницями часу. Рік складається з 12 місяців, а половина доби з 12 годин. У російській мові рахунок часто йде дюжинами, ледве рідше гроссами. Про існування 12-тькової системи числення говорить той факт, що сервізи, серветки, столові прилади продають наборами по 6 або 12 штук.

• Винахід десяткової системи числення приписують древнім арабам, розвиток - індусам. Поява її в Європі датується приблизно 1200р.н.е. Десятковими цифрами виражається час, номери будинків, телефонів, ціни, показання приладів, на них базується метрична система числення.

• Двійкова система числення використовується в ЕОМ. Однак ця система числення була предметом пильної уваги. От, що писав видатний французький математик ПЬЕР СИМОН ЛАПЛАС (1749 - 1807) про ставлення до двійкової системи числення: «В своей двоичной арифметике Лейбниц видел  прообраз творения. Ему представлялось, что единица  представляет божественное начало, а нуль – небытиё, и что высшее существо создаёт все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

Двійкова система числення. Використовується дві цифри: 0 й 1.

Вісімкова система числення. Використовується вісім цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Уживається в ЕОМ як допоміжна для запису інформації в скороченому виді. Для подання однієї цифри вісімкової системи використовується три двійкових розряди (тріада) (Таблиця 1).

Шістнадцятькова система числення. Для зображення чисел уживаються 16 цифр. Перші десять цифр цієї системи позначаються цифрами від 0 до 9, а старші шість цифр - латинськими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система Використовується для запису інформації в скороченому виді. Для подання однієї цифри шістнадцятькової системи числення використовується чотири двійкових розряди (тетрада) (Таблиця 1).

Таблиця 1. Найбільш важливі системи числення.

Двійкова (Підстава 2)	Вісімкова (Підстава 8)		Десяткова (Підстава 10)	Шістнадцятькова (Підстава 16)
		тріади			тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111