3.3. Нормальное распределение
Непрерывная
случайная величина Х имеет нормальное
распределение с параметрами а и
,
если её плотность распределения имеет
вид:
(37)
Нормальный закон распределения (также называемый законом Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Его главная особенность – то, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся типичных условиях. Нормальный закон может проявляться как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели исследуемого явления). Классические примеры возникновения нормального распределения как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скорости молекул).
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем
функцию 
.
(38)
1) Функция определена на всей оси Ох; D(y) = R.
2)
Для всех x
значение y
> 0, то есть график функции (38) (нормальная
кривая) расположен над осью абсцисс.
3)
,
то есть ось Ох служит асимптотой графика
функции.
4) Исследуем функцию на экстремум:
;
(39)
при
x
- a
= 0, т.е. при х = а;
при x
< a,
при x
> a.
Следовательно,
функция имеет максимум при х = а,
.
5) Разность x - a содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, значит, график функции симметричен относительно прямой x = a.
6) Исследуем функцию на точки перегиба:
;
(40)
при
,
то есть при
и
.
При переходе через эти точки
меняет
знак, следовательно, они являются точками
перегиба.
График функции (38) приведён на рис. 6.
Рис. 6. Общий вид нормальной кривой
Влияние параметров распределения на форму нормальной кривой
При
изменении параметра a
форма кривой сохраняется, но она (кривая)
перемещается вдоль оси Oх
- вправо при возрастании a
и влево при убывании a.
С увеличением
кривая будем снижаться и вытягиваться
вдоль оси Ох (рис.7). Заметим, что площадь
под кривой всегда равна 1.
Рис. 7. Влияние параметров распределения на форму нормальной кривой
Частный
случай:
если
и
,
то
и нормальное распределение называется
нормированным
или стандартным
нормальным распределением (рис 8).
Рис. 8. График стандартной нормальной кривой.
Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал находится по формуле
(41)
Этот интеграл не выражается через элементарные функции. Но для стандартного нормального распределения он вычислен и приведён в таблицах [1-4]. Преобразуем (41) так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами.
Введём новую переменную:
Найдём новые пределы интегрирования:
если
,
то
;
если
,
то
.
Таким образом, имеем:
,
где
- функция Лапласа (приведена в [1-4]).
Итак,
.
(42)
Пример
3.3.1. Случайная
величина Х распределена по нормальному
закону с параметрами
и
.
Найти вероятность того, что она примет
значение в диапазоне (10;40).
Решение.
Имеем
и
.
По формуле (42) находим
Ф(1,33)
- Ф(-0,67) = [в силу нечетности функции Ф(х)]
= Ф(1,33) + Ф(0,67) = 0,4082 + 0,2486 = 0,6568.
Ответ: 0,6568
На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины на участок, симметричный относительно параметра a:
.
Численно эта вероятность равна площади, показанной на рис.9.
Используем
формулу (42) и равенства
:
.
Итак,
. (43)
Рис. 9. Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в интервал, симметричный относительно параметра а
Пример 3.3.2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a = 20 и σ = 10. Найти вероятность того, что она примет значение от 17 до 23.
Решение.
Ответ: 0,2358.
Установим смысл параметров нормального распределения. Для этого найдём числовые характеристики нормального распределения.
Таким
образом, для нормально распределённой
случайной величины Х
-
(44)