2. Основные распределения дискретных случайных величин

2.1. Распределение Бернулли

Производится один опыт (или наблюдение), в котором может произойти или не произойти событие А. Вероятность того, что событие А произойдет, равна числу p. Один такой опыт, в котором возможны лишь два исхода («успех» и «неудача»), называют испытанием Бернулли.

Пусть случайная величина X характеризует появление события А в данном опыте, то есть

Тогда p{X = 1} = p(A) = p; p{X = 0} = p( ) = 1 – p = q. Говорят, что случайная величина X распределена по Бернулли. Функция распределения такой величины имеет вид

(16)

Такая величина может возникнуть, например, при бросании монеты (событие А – выпадение орла, р(А) = 0,5, р( ) = 0,5), при бросании игральной кости (событие А - выпадение пяти очков, р(А) = 1/6, р( ) = 5/6).

Запишем ряд распределения и найдём числовые характеристики распределения Бернулли:

X	1	0
p	p	1-p

X 2	12	02
p	p	1-p

.

Тогда .

(17)

2. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти (с вероятностью р) или не произойти (с вероятностью 1- р = q) некоторое событие А, то есть производится n независимых испытаний Бернулли. Повторные независимые испытания Бернулли называют схемой Бернулли.

Рассмотрим случайную величину Х, равную числу «успехов» в схеме Бернулли. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться один раз, либо два раза, … , либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: Вероятности этих возможных значений определяются формулой Бернулли:

, (18)

где k = 0, 1, 2, … , n.

Формула (18) и является аналитическим выражением биномиального распределения. Другими словами, биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли (18). Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (18) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(19)

Запишем биномиальный закон в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k	…	n - 1	n
Р				…		…

Контроль:

Функция распределения случайной величины Х, подчиняющейся биномиальному закону, имеет вид:

(20)

Найдем числовые характеристики биномиального распределения. Обозначим через - число появлений события А в первом испытании, - число появлений события А во втором испытании, … , число появлений события А в n-ном испытании. Тогда Х – число появлений события А во всех n испытаниях - равно сумме , а математическое ожидание Х в силу независимости случайных величин , , … , равно сумме их математических ожиданий:

n

Аналогичным образом получаем формулу для дисперсии биномиального распределения:

.

(21)

Пример 2.2.1. Длительной проверкой качества деталей установлено, что 75% деталей не имеют дефектов. Составить закон распределения случайной величины Х – числа пригодных деталей среди наудачу взятых шести деталей - и найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону, при этом n = 6, p = 0,75, q = 0,25. По формуле (18) находим:

Закон распределения случайной величины Х в виде таблицы имеет вид:

Х	0	1	2	3	4	5	6
р	0,0002	0,0044	0,0330	0,1318	0,2966	0,3560	0,1780

Контроль: 0,0002+0,0044+0,0330+0,1318+0,2966+0,3560+0,1780=1.