Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методичка №959 ОСНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ...doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.75 Mб
Скачать

1.3.Числовые характеристики случайных величин

Выше мы познакомились с исчерпывающими характеристиками случайных величин.

Для дискретной случайной величины это:

  1. функция распределения;

  2. ряд распределения (графически – многоугольник распределения).

Для непрерывной случайной величины это:

  1. функция распределения;

  2. плотность распределения (графически - кривая распределения).

На практике зачастую нет возможности или необходимости характеризовать случайную величину полностью. Достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения случайных величин: например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего. Такие характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X принимает n возможных значений. Тогда её математическое ожидание M(X) равно

(9)

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество значений, то

, (10)

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства (10) сходится абсолютно.

Можно показать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для непрерывной случайной величины с плотностью f(x) математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл

, (11)

где f(x)- плотность распределения величины Х.

Отклонением случайной величины X называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: Х - М (Х).

Дисперсия случайной величины – это характеристика рассеивания значений случайной величины около её математического ожидания, определяемая по формуле

, (12)

то есть дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины имеем:

. (13)

Дисперсию часто вычисляют по формуле

(14)

- дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, в то время как математическое ожидание имеет размерность самой случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют среднеквадратическим отклонением случайной величины:

(15)