Практическая работа № 31 клеточные автоматы

Разделы программы: Роль математики в науке. Наука о самоорганизации.

Необходимые предварительные знания: – – –

Теоретическая часть

Клеточный автомат - разновидность математической модели - представляет собой систему однотипных элементов, каждый из которых может находиться в одном из нескольких допустимых состояний. В графическом виде каждый элемент изображают клеткой, представляющий собой плоский правильный многоугольник. Как правило, это - квадрат, но возможны треугольник и шестиугольник. Отсюда и название автомата - "клеточный". Состояние автомата в каждый конкретный момент из дискретной временной последовательности определяется состоянием всех его элементов - клеток в этот момент. В свою очередь, состояние каждого элемента в рассматриваемый момент времени в общем случае определяется его состоянием и состояниями соседних с ним элементов в предыдущий момент времени. Правила, по которым производятся переключения состояний элементов, могут задаваться самыми разнообразными. Поэтому при одном и том же исходном состоянии дальнейшее поведение автоматов может быть самым различным.

Первым, кто ввел понятие клеточных автоматов и использовал их в задачах нейрокибернетики, был один из выдающихся математиков современности Джон фон Нейман (1971 г.). Однако свой современный общепризнанный вид теория клеточных автоматов получила в работах японских ученых И.Оно и М. Кохмото (1985 г.). Этот подход стал одним из самых продуктивных в синергетике - науке о самоорганизации сложных систем. С помощью него, привлекая современные ЭВМ, можно успешно решать задачи по исследованию динамики сложных химических реакций, диффузии и теплопроводности, турбулентного течения жидкости, самосборки ДНК, роста кристаллов, движения электронов в сложных магнитных полях и т.д.

Ход работы

Примечание: Наиболее продуктивное обучение клеточным автоматам достигается с помощью ЭВМ. Однако для этого требуется привлечение опытных программистов, т.к. литература по этой теме очень скудна и программ для ЭВМ не содержит.

1. Усвойте возможности применения клеточных автоматов для исследования роста кристаллов. Для этого вначале уясните правила моделирования:

1) каждая квадратная клетка может находиться в одном из двух состояний - жидком или кристаллическом;

2) исходно все клетки, кроме зародышевой, находятся в жидком состоянии;

3) соседними для рассматриваемой считаются клетки, контактирующие с ней только своими "гранями", но не "вершинами" (т.е. учитываются контакты лишь по вертикали и горизонтали);

4) закристаллизовавшаяся клетка остается в этом состоянии неизменно со временем;

5) клетка кристаллизуется, если сумма контактирующих с ней кристаллических клеток нечетная, в противном случае клетка остается в жидком состоянии.

2. Используя в качестве зародыша кристалла единичную клетку, промоделируйте рост кристалла по вышеприведенным правилам. Зародыш расположите в центре листа и достройте кристалл до краев последнего.

На рис. 1 показаны несколько начальных этапов роста кристалла:

Рис. 1

Заштрихованы закристаллизовавшиеся клетки. Для обеспечения правильности моделирования рекомендуется при анализе состояния клеток отмечать места будущих кристаллических ячеек точками.

4. По указанию преподавателя проведите моделирование по рассмотренным правилам для одного из зародышей, представленных на рис. 2.

Рис. 2

В чем общность и отличие получающихся фигур от фигуры для зародыша, представленного на рис. 1?

5. Познакомьтесь с важным частным случаем клеточных автоматов - линейными суммирующими автоматами. В них система клеток расположена в одну линию, толщина линии - одна клетка. Направление, перпендикулярное линии, задает направление времени при смене состояний. Основное применение линейных клеточных автоматов в настоящее время - это моделирование нейронных процессов мозга.

Правила моделирования, которые используются в данной работе, следующие:

1) каждая клетка может находиться в одном из двух состояний - торможения или возбуждения;

2) соседними для рассматриваемой считаются четыре клетки, прилегающие к ней по паре с каждой стороны линии;

3) заторможенное состояние клетки численно оценивается как нуль, возбужденное - как единица;

4) каждая клетка линейной совокупности переключает свое состояние на противоположное в следующий момент времени, если в данный момент сумма состояний ее соседних клеток является четной, в противном случае исходное состояние клетки сохраняется;

5) если сумма состояний соседних с данной клеткой ячеек равна нулю, клетка в следующий момент времени однозначно переходит в заторможенное состояние (или остается в нем);

6. Уясните три возможных исхода процессов возбуждения линейного клеточного автомата:

а) возбуждение гаснет и переходит в полную заторможенность (пример - рис. 3):

			Здесь исходное состояние: 1 1 1, ось времени направлена вправо. Для определенности, в дальнейшем нумерацию состояний будем вести сверху вниз.
Рис. 3

б) возбуждение и торможение развиваются хаотически (пример - рис. 4):

				Здесь код исходного состояния - 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1. Проделайте 10-20 шагов по оси времени и убедитесь в неповторяемости состояний автомата. и т.д.
Рис. 4

в) возбуждение упорядоченно чередуется с торможением (пример - рис. 5):

				Здесь код исходного состояния - 1 0 1 1 1 1 0 1. Он неизменно воспроизводится во времени. и т.д.
	Рис. 5

Представленные на рис. 3-5 как исходные состояния автомата могут возникать и в процессе его динамики, т.е. получаться как промежуточные.

7. Закрепите на практическом примере особенно важный с научной точки зрения случай, когда линейный клеточный автомат в процессе динамической смены состояний переходит из хаотического режима в упорядоченный. По гипотетическим представлениям, видимо, таким именно образом в организации мозга функционируют устойчивые нейронные модели, играющие важную роль в механизмах распознавания образов, воспоминания, инсайта и т.д.

Код исходного состояния автомата

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1.

Проделайте 15-20 шагов и сделайте вывод о результате.

Резюме

Клеточные автоматы позволяют моделировать сложные процессы самоорганизации систем различной природы, а также получать решения сложных естественнонаучных задач в тех случаях, где математико-аналитический подход малоэффективен.