10. Другие методы решения уравнений.

На отдельных примерах рассмотрим несколько частных методов решения уравнений.

При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

Пример 1.

Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1. Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:

3 =

Откуда, .

2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них является решением исходного уравнения.

Ответ: (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1).

Замечание: Если относительно одного из неизвестных уравнение является квадратным, то ограничивать перебор можно, используя неотрицательность дискриминанта.

Пример 2.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Относительно х это уравнение – квадратное: . условием существования решения является , т.е. -3 .

Таким образом, достаточно перебрать случаи 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3.

Ответ: (-5, -3), (5, 4)

Пример 3.

Сколько целочисленных решений имеет уравнение

Решение:

После возведения в квадрат получим , тогда ( – целое) и

Таким образом, получаем 15 решений при = 0, …, 14.

Ответ: 15 решений.

Пример 4.

Найти целочисленные решения уравнения , удовлетворяющие неравенствам

Решение:

Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида.

Имеем 179 = 113 + 66.

Перепишем наше уравнение в виде

Обозначим , . Как видим, у нового уравнения один из коэффициентов уменьшился. Можно вновь 113 разделить на 66 с остатком, а лучше так:

Получаем

Обозначим

Получаем уравнение

.

,

Наконец, получаем уравнение . Это уравнение имеет очевидное решение: , где – любое целое число.

Двинулись в обратный путь:

,

,

,

Таким образом, где – произвольное целое. Из условия найдем = 2, = 35, = -22

Ответ:

Пример 5.

Решить в целых положительных числах уравнение

Решение:

Решая данное уравнение как квадратное относительно у, находим:

(1)

Мы видим, что число должно быть точным квадратом, т.е. = u

Так как х - натуральное число, то тоже натуральное, число u (как арифметическое значение корня) тоже натуральное, причем, очевидно,

Положим, , где – натуральное число.

Тогда получаем: (3х – 1) -288 = [(3x – 1) – k] или 2k(3x – 1) = k + 288

откуда видно, что - число четное.

Пусть ( также натуральное число).

Тогда находим:

или (2)

Отсюда ясно, что число должно быть целым, т.е. должно быть делителем числа 72. Возможные значения для

Из них надо взять лишь такие, для которых число + кратно трем (либо это число должно быть равно 3 ). Этому условию удовлетворяют лишь числа = 2, = 8, = 9, = 36.

Подставляя эти значения в (2), находим для два значения: 13 и 6. Из уравнения (1) найдем соответствующие (только натуральные!) значения . В результате мы получаем два решения исходной системы:

Ответ:

Пример 6.

Решить уравнение в натуральных числах

Решение:

Поскольку неизвестные входят в уравнение симметрично, то можно считать что .

Остальные решения получаются перестановками неизвестных.

Тогда

,

т.е. . очевидно, что . Пусть , т.е.

Также ясно, что у 2.

Если , то . Если , то .

Если , то даже , т.е. других решений при нет.

Пусть , т.е. .

Если , то . Если , то даже , т.е. других решений при нет.

Следовательно, данное уравнение без учета перестановок имеет три решения: (3, 3, 3), (2, 4, 4), (2, 3, 6)

Ответ: , , , , , , , , , .