9.8. Теплопроводность цилиндрической многослойной стенки

Рассмотрим цилиндрическую стенку, состоящую из трёх слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ₁, λ₂, λ₃ (рис. 9.8.). Заданы размеры слоёв (радиусы r₁, r₂, r₃, r₄), а также температуры внутренней t₁ и наружной t₄ поверхностей.

Рис. 9.8. Цилиндрическая многослойная стенка

Напишем уравнения, определяющие величину теплового потока на единицу длины каждого слоя:

Решим эти уравнения относительно разности температур:

(9.36)

Сложив левые и правые части уравнений, получим:

(9.37)

откуда:

(9.38)

Температуры на границах соседних слоев находим из уравнений (9.36), подставляя значение q_l , вычисленное по формуле (9.38):

(9.39)

откуда:

(9.40)

Если количество слоёв будет больше трёх, то можно написать:

(9.41)

Очевидно, что для многослойной цилиндрической стенки температурная кривая представляет собой ломаную линию, составленную из отрезков логарифмических линий.

9.9. Контактное тепловое сопротивление

Выше при анализе теплопроводности многослойных стенок мы считали, что контакт между соприкасающимися поверхностями является идеальным и поэтому температуры этих поверхностей одинаковы. Однако на реальных поверхностях всегда имеются микроскопические неровности. Поэтому соприкосновение тел происходит не по всей поверхности, а лишь по отдельным небольшим зонам (рис. 9.9.); остальные участки поверхностей контактирующих тел разделены прослойкой газа (или жидкости, если тела погружены в жидкость).

Рис. 9.9. Модель неидеального контакта между телами

Поэтому теплообмен между телами происходит частично через зоны фактического контакта, а частично – через газовую или жидкую прослойку. Это приводит к появлению теплового сопротивления в месте соприкосновения поверхностей (контактное тепловое сопротивление). Опыт показывает, что в месте контакта происходит скачок температуры, обусловленный указанным тепловым сопротивлением (рис. 9.10.).

Р ис. 9.10. К объяснению контактного теплового сопротивления

Этот скачок температуры (∆t_к) связан с плотностью теплового потока q и контактным тепловым сопротивлением (R_к) следующим уравнением:

(9.42)

где , – температуры контактирующих поверхностей;

R_к – контактное тепловое сопротивление.

Величина R_к зависит от природы, чистоты обработки (рис. 9.11.) и твердости контактирующих поверхностей.

С ростом силы сжатия (давления p) тепловое сопротивление уменьшается, так как при этом увеличивается площадь фактического контакта (рис. 9.12.).

Рис. 9.11. Зависимость R_к от чистоты Рис. 9.12. Зависимость R_к от силы

обработки поверхности сжатия поверхностей

Сопротивление контакта уменьшается, если пространство между поверхностями заполнить более теплопроводной средой (например, водородом вместо воздуха).

Повышение температуры в зоне контакта обычно понижает величину R_к, так как с ростом температуры повышается коэффициент теплопроводности газов. Уменьшение величины R_к можно достигнуть применением покрытий или тонких металлических прокладок, имеющих малую твердость и высокий коэффициент теплопроводности.

Когда величина R_к соизмерима с тепловым сопротивлением самих стенок, то её следует учитывать в расчётах. Для плоской двухслойной стенки уравнение теплопроводности с учётом сопротивления контакта имеет вид:

^. (9.43)

Значения R_к определяют по опытным данным или расчётным путём с помощью полуэмпирических методов.