9.3.3. Коэффициент теплопроводности

Коэффициент λ, Вт/(м·К), в уравнении закона Фурье численно равен плотности теплового потока при падении температуры на один Кельвин (градус) на единицу длины. Коэффициент теплопроводности различных веществ зависит от их физических свойств. Для определённого тела величина коэффициента теплопроводности зависит от структуры тела, его объёмного веса, влажности, химического состава, давления, температуры. В технических расчётах величину λ берут из справочных таблиц, причём надо следить за тем, чтобы условия, для которых приведено в таблице значение коэффициента теплопроводности, соответствовали условиям рассчитываемой задачи.

Особенно сильно зависит коэффициент теплопроводности от температуры. Для большинства материалов, как показывает опыт, эта зависимость может быть выражена линейной формулой:

(9.7)

где λ_o – коэффициент теплопроводности при 0 °С;

β – температурный коэффициент.

Коэффициент теплопроводности газов, а в особенности паров сильно зависит от давления. Численное значение коэффициента теплопроводности для различных веществ меняется в очень широких пределах – от 425 Вт/(м·К) у серебра, до величин порядка 0,01 Вт/(м·К) у газов. Это объясняется тем, что механизм передачи теплоты теплопроводностью в различных физических средах различен.

Металлы имеют наибольшее значение коэффициента теплопроводности. Теплопроводность металлов уменьшается с ростом температуры и резко снижается при наличии в них примесей и легирующих элементов. Так, теплопроводность чистой меди равна 390 Вт/(м·К), а меди со следами мышьяка – 140 Вт/(м·К). Теплопроводность чистого железа 70 Вт/(м·К), стали с 0,5 % углерода – 50 Вт/(м·К), легированной стали с 18 % хрома и 9 % никеля – только 16 Вт/(м·К).

Зависимость теплопроводности некоторых металлов от температуры показана на рис. 9.2.

Газы имеют невысокую теплопроводность (порядка 0,01...1 Вт/(м·К)), которая сильно возрастает с ростом температуры.

Теплопроводность жидкостей ухудшается с ростом температуры. Исключение составляют вода и глицерин. Вообще коэффициент теплопроводности капельных жидкостей (вода, масло, глицерин) выше, чем у газов, но ниже, чем у твердых тел и лежит в пределах от 0,1 до 0,7 Вт/(м·К).

Р ис. 9.2. Влияние температуры на коэффициент теплопроводности металлов

9.4. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Одной из основных задач теории теплообмена является определение температурного поля, т.е. пространственно-временного распределения температуры в исследуемой области. Это распределение подчиняется дифференциальному уравнению теплопроводности, которое вытекает из закона сохранения и превращения энергии.

Вначале рассмотрим однородное тело, температура которого меняется только в направлении х.

Будем считать, что в теле отсутствуют внутренние источники тепла, а физические свойства не зависят от температуры. Выделим в этом теле (рис. 9.3.) объем толщиной dx; площадь поверхностей граней, перпендикулярных оси х, равна F. За время dτ в этот объём поступает тепло dQ_х; а выходит из него dQ_х+dx. Тогда:

(9.8)

где dQ_τ – количество тепла, аккумулированного телом и пошедшего на изменение его температуры.

Рис. 9.3. К выводу уравнения теплопроводности

Нетрудно видеть, что:

(9.9)

(9.10)

Здесь q_х и q_{х + dx} – плотности теплового потока в плоскостях х и dх, причём:

(9.11)

Из закона Фурье (9.6) следует (при λ = const):

(9.12)

Тогда:

(9.13)

Подставляя (9.10) и (9.13) в (9.8), получим:

(9.14)

где

Уравнение (9.14) является дифференциальным уравнением теплопроводности для одномерного температурного поля. В общем случае трёхмерного поля уравнение имеет вид:

(9.15)

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела, в котором происходит перенос тепла теплопроводностью. Комплекс а называется коэффициентом температуропроводности. Как и величины, из которых составлен комплекс, коэффициент температуропроводности является физическим параметром вещества.

Из уравнений (9.14) и (9.15) видно, что скорость изменения температуры в любой точке тела тем выше, чем больше величина а. Поэтому можно считать, что коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств материала.

Дифференциальное уравнение теплопроводности получено на основе самых общих представлений о процессе и поэтому справедливо для всех без исключения процессов теплопроводности, протекающих без внутренних источников тепла. Чтобы получить решение, соответствующее конкретной задаче, надо к этому уравнению присовокупить математическое описание частных особенностей данного процесса. Эти частные особенности называются краевыми условиями. Они включают в себя временные и граничные условия.

Временные условия определяют температурное поле в изучаемом теле в какой-либо момент времени; поэтому часто временные условия называются начальными.

Граничные условия определяют значения переменных на границах пространства и в данном случае состоят в задании распределения температуры тела на его поверхности в функции времени или задании условий теплового взаимодействия тела с окружающей средой.