9.10. Теплопроводность тел с внутренними источниками тепла

Внутри тел могут протекать процессы, сопровождающиеся выделением или поглощением тепла. Выделение тепла имеет место при прохождении электрического тока, в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов; выделение или поглощение тепла происходит при протекании химических реакций и т. д. Выделение или поглощение тепла в теле влияет на процесс теплопроводности в нём.

Интенсивность таких процессов характеризуют количеством тепла, выделяющимся в единицу времени в единице объёма тела, которое называют мощностью внутренних источников тепла q_υ, Вт/м³ .

Р ассмотрим для примера цилиндр (стержень) с равномерно распределенными внутренними источниками тепла, в котором тепло распространяется лишь в радиальном направлении (рис. 9.13.) и далее отводится через наружную поверхность.

Рис. 9.13. К вопросу теплопроводности тел с внутренними источниками тепла

Тепло, которое выделится в единицу времени в цилиндре с произвольным радиусом r и затем отведётся через его поверхность, равно:

(9.44)

а плотность теплового потока:

(9.45)

С другой стороны, согласно закону Фурье:

(9.46)

Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим:

(9.47)

Интегрируя последнее выражение, найдем:

(9.48)

Подставляя значения переменных на границах стенки (t = t_ст при r = r_ст) и в центре (t = t₀ при r = 0), получим:

(9.49)

Таким образом, температура на оси стержня t₀ при данной температуре поверхности определяется интенсивностью объёмного тепловыделения.

Аналогичные соотношения можно получить и для других тел с внутренними источниками тепла.

Примеры решения задач

Задача 9.1.

Вычислить плотность теплового потока через плоскую однородную стенку, толщина которой значительно меньше ширины и высоты, если стенка выполнена: а) из стали [λ₁ = 40 Вт/(м · К)]; б) из бетона [λ₂ = 1,1 Вт/(м · К)]. Во всех случаях толщина стенки δ = 50 мм. Температуры на поверхностях стенки поддерживаются постоянными и равными t_ст1 = 100. °С и t_ст2 = 90 °С.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой (9.17), позволяющей вычислить плотность теплового потока через плоскую однородную стенку.

Вычисляем плотность теплового потока для стальной стенки q₁:

Для бетонной стенки величина плотности теплового потока q₂, будет равна:

По решённой задаче можно сделать следующий вывод, что величина плотности теплового потока в плоской однородной стенке прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности.

Задача 9.2.

Определить потери тепла Q через стенки из красного кирпича длиной l = 5 м, высотой h = 4 м и толщиной δ = 0,250 м, если температуры на поверхностях стенки поддерживаются t_cт1 = 110 °С и t_ст2 = 40 °С. Коэффициент теплопроводности красного кирпича λ = 0,70 Вт/(м · К).