Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к .

3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Составляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .

Р е ш е н и е.

1) Определитель матрицы

.

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :

.

3. Вычисляем обратную матрицу:

,

4. Проверяем:

.

4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример. Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице размером вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы .

Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: или .

Из определения следует:

1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. .

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. .

3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная.

Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) на число .

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицы при помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначается А В.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:

, где , , .

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:

.

Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

.

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .