Аналогия магнитного поля постоянного тока и электростатического поля
Система
дифференциальных уравнений магнитного
поля постоянного тока вне проводников
с токами (
),
граничные условия на поверхности
раздела двух сред совпадают с уравнениями
электростатического поля в диэлектрике
при отсутствии свободных объемных
зарядов (
)
и зарядов на поверхности раздела сред
(
).
Магнитное поле. |
Электростатическое поле. |
|
( )
( )
|
(
)
Аналогичны
векторы магнитной индукции
и электрического смещения
,
напряженности
и
,
параметры сред
и
,
потенциалы
и
.
Отмеченная
аналогия позволяет применить методы
расчета электростатических полей, для
расчета магнитных полей (например,
дифференциальные уравнения Пуассона,
Лапласа для векторного потенциала
в занятых и не занятых током областях,
метод изображений).
Расчет магнитного поля и индуктивности двухпроводной линии без учета влияния земли
Рассмотрим двухпроводную воздушную линию длиною , состоящую из тонких цилиндрических проводов с током I, расстояние между которыми d, радиусы (рис.16).
Р
асчет
поля проведем, используя аналогию
уравнения Пуассона
(41)
для векторного потенциала в магнитном поле от токов и для скалярного в электростатике от тонких заряженных осей ( ).
(42)
В
любой точке
Рис. 16
Аналогично
величина векторного магнитного
потенциала
,
направленного вдоль оси провода
,
:
(43)
Выражая
,
через координаты x,y
точки N,
можем получить закон изменения
.
Зная
,
вычислим магнитный поток
,
пронизывающий площадку, ограниченную
контуром 12341 (рис.16), и индуктивность
линии
на единицу длины.
,
(44)
где
на поверхности первого провода
и
согласно (43)
,
на
поверхности второго провода
,
на
горизонтальных сторонах 1-2, 3-4
рассматриваемого контура
,
поэтому их скалярные произведения
равны нулю.
Подставляя
,
в (44), раскрывая скалярные произведения
и интегрируя, получим:
Индуктивность линии на единицу длины связана с магнитным потоком Ф (без учета магнитного поля внутри проводов, если они тонкие) и током I в ней соотношением:
,
где
,
так как линия образует один контур.
Следовательно,
При
:
(45).
Индукцию
магнитного поля
можно найти, раскрывая
через проекции в декартовой системе
координат (x,y,z)
и учитывая, что
имеет
единственную составляющую
,
зависящую от х и y.
,
здесь
,
,
- единичные векторы, направленные по
осям x,y,z,
согласно (43),
,
должны быть выражены через x,y.
Напряженность
.
Методические указания к расчету полей в курсовой работе по тоэ – III
Таблица 1
Тема |
Номер задачи |
Рекомендуемая методика расчета. |
Расчет электростатического поля с помощью интегральных и дифференциальных соотношений. |
1 |
Используется теорема Гаусса в интегральной форме в сферической (или цилиндрической) системе координат или дифференциальные уравнения Пуассона, Лапласа. Напряженность электростатического поля определяется через вектор смещения , с учетом того, что суммарный заряд, которому приравнивается поток вектора смещения в каждой из областей, зависит от радиуса. При нахождении потенциала используется интегральная или дифференциальная связь между и , и граничные условия. |
Поле заземлителей. Стационарное электрическое поле. |
2 |
Применяется аналогия с электростатикой, метод изображений. Величина, знак и положение отображенных зарядов находятся из граничных условий поставленной задачи (силовые линии напряженности поля в земле от границ раздела сред отталкиваются).
Сопротивление
находится через проводимость |
Электрическое поле линии без учета влияния земли. |
3 |
По
значению максимальной напряженности
Для
определения зарядов
,
и потенциалов
,
в любой точке
Емкость
линии находится через плотность
зарядов
и напряжение, характеристическое
сопротивление
|
,
потенциал и шаговое напряжение –
суперпозицией (алгебраическим
сложением) от всех зарядов q,
которые, как и
,
заменяются на ток I
и
.
электрического
поля определяется величина
допустимого
напряжения линии (или наоборот).
,
необходимо предварительно найти
положение электрических осей (
).
через
,
.Продолжение таблицы 1
Тема |
Номер задачи |
Рекомендуемая методика расчета. |
Магнитное поле линии без учета влияния земли. |
4 |
Решение уравнения Пуассона для векторного потенциала магнитного поля линии с использованием аналогии с электростатикой. Магнитный поток Ф находится через , а через Ф и ток линии I индуктивность на единицу длины. |
Поле линии с учетом влияния земли. |
5 |
Метод зеркального изображения. Потенциалы , заряды , емкости частичные и рабочая, определяются из трех групп формул Максвелла.
Напряженность
поля
находится через градиент потенциала
,
законы изменения поверхностной
плотности
|
(х)
на границе проводник-диэлектрик через
- из граничных условий, плотность
связанных зарядов
– через вектор поляризации.