Поле двухпроводной линии с учетом влияния земли

Двухпроводную воздушную линию, высота подвеса проводов которой , , радиусы проводов , расстояние между проводами (рис.8), заменим на заряженные оси линейной плотностью и , расположение которых найдем, используя (29. Поле линии в любой точке М(x,y) над землей зависит от зарядов проводов , и от зарядов индуцированных на поверхности земли, закон распределения которых не известен.

С

Рис. 8

огласно теоремы единственности и ее второго следствия, их можно учесть, введя отображенные заряды , , величина, знак и положение которых должны быть найдены из граничного условия на поверхности земли . По соотношению (11) от ( ) равен нулю, если , будут зеркально отраженными и (рис.9).

Рис. 9

Применяя метод зеркальных изображений и пренебрегая смещением электрических, если оно мало, найдем потенциал в произвольной точке M(x,y) от двух пар заряженных осей , :

(32)

Линейные связи (32) между зарядами и потенциалами можно представить в виде: ,

где , - потенциальные коэффициенты, зависящие только от положения точки М, всех проводов в пространстве, и от свойств среды.

Тогда потенциалы на поверхности первого и второго проводов:

, (33)

где собственные потенциальные коэффициенты:

;

взаимные: .

Когда потенциалы проводов и известны, то по (33) через и можно найти заряды и и потенциал любой точки М с координатами (x,y).

Если у двухпроводной линии , , а к проводам подведено напряжение U от незаземленного источника, то провода всегда заряжаются так, что , при этом:

;

.

Подставляя в (33), получим: , .

Емкость двухпроводной линии (на единицу длины) с учетом влияния земли:

(34);

Сравнивая это выражение с емкостью линии без учета влияния земли , видим, что влияние земли сказывается, в частности в увеличении емкости.

Три группы формул Максвелла для n-проводной линии

Первая группа формул Максвелла (система 33) для n – проводной линии:

(35)

Полагая потенциалы и коэффициенты известными, получим вторую группу формул Максвелла, позволяющую найти линейные плотности зарядов на проводах:

(36),

здесь , где - определитель системы (35), - алгебраическое дополнение, получаемое из вычеркиванием k-й строки, n-го столбца и умножением полученного таким путем определителя на . Коэффициенты - емкостные, - собственные, - взаимные.

Если систему (36) записать так, чтобы справа стояли разности потенциалов между данным проводом и всеми остальными в том числе и землей, то получим третью группу формул:

(37)

где , , коэффициенты

- собственные частичные емкости, - взаимные.

Р абочую емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли можно найти через частичные согласно схемы (рис.10):

(38).

Рис. 10