Примеры решения заданий
Задание 1. Дана система линейных уравнений. Убедиться в совместности системы и решить ее тремя способами: 1) методом Крамера; 2)методом Гаусса;
3)
средствами матричного исчисления.
.
Решение.
Для доказательства совместности системы
вычислим определитель системы:
,
значит, система уравнений совместна.
1) Метод Крамера:
,
,
.
В результате, по формулам Крамера имеем:
,
,
.
Таким
образом, решением системы является
.
2) Метод Гаусса:
Суть метода – привести расширенную матрицу системы путем элементарных преобразований к ступенчатому или, другими словами, треугольному виду. Заметим, что эти преобразования уже были выполнены при доказательстве совместности системы линейных уравнений:
~
.
Далее, запишем «преобразованную» систему линейных уравнений, коэффициентами которой являются элементы полученной треугольной матрицы:
Решая
полученную систему, учитывая последнее
уравнение, из второго уравнения найдем
:
,
;
из
третьего уравнения
:
,
.
Таким образом, решение системы .
3) Решим систему линейных уравнений средствами матричного исчисления. Для этого запишем исходную систему в виде матричного уравнения
,
где
,
,
.
Тогда,
согласно формуле,
.
Убедимся
в том, что матрица
существует,
для этого вспомним, что определитель
(вычислен
при решении системы уравнений методом
Крамера).
Таким образом, поскольку матрица А невырожденная, то она имеет обратную. Найдем по формуле:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким
образом,
,
а значит,
Задание
2. Построить
график функции
.
Решение:
Исходную функцию можно записать в
виде:
.
Определим
область определения этой функции:
.
Этапы построения:
по точкам строим график функции :
х |
0,5 |
1 |
2 |
y |
-1 |
0 |
1 |
строим график функции
,
сдвигая предыдущий график функции
на 1 единицу влево вдоль оси Ох;строим график функции
,
зеркально отображая предыдущий график
функции
относительно оси Ох;с
троим
окончательный график (жирным шрифтом)
функции
,
поднимая график функции
на 2 единицы вверх.
2 у
-1 1 х
Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
.
При
подстановке предельного значения
в функцию убеждаемся, что имеем
неопределенность вида
.
.
б)
.
в)
.
Имеем
неопределенность вида
.
Разделим числитель и знаменатель дроби
на
(как старшую из степеней числителя и
знаменателя), получим:
.
г)
.
.
Задание 4. Найти производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Решение:
Для выполнения этого задания понадобятся следующие сведения.
Таблица производных основных элементарных функций
1.
,
с=const.
2.
,
где
.
В частности,
.
3.
.
4.
,
.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
. 12.
.
Правила дифференцирования
Пусть
,
с -
const.
1.
2.
.
В частности,
.
3.
4.
(Сложная функция).
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
Задание
5. Исследовать
функцию и
построить ее график:
.
План исследования функции и построения ее графика
1. Найти область определения функции.
2.
Исследовать функцию на четность,
нечетность, периодичность. В случае,
когда, например, функция является
нечетной (четной), достаточно проводить
исследования и строить эскиз графика
при
с
последующим симметричным его отображением
(относительно начала координат для
нечетной функции или относительно оси
OY
для четной).
3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).
4.
Определить промежутки знакопостоянства
функции (т.е. промежутки, где
).
5. Определить асимптоты графика функции.
6. Определить интервалы монотонности функции, экстремумы функции.
7. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, найти точки перегиба.
8. Построить эскиз графика.
Придерживаемся этой схемы исследования.
1. Функция определена при всех действительных x, кроме x = -2.
2. Исследуем функцию на четность (нечетность):
,
кроме того,
.
Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. имеем функцию общего вида. Функция не является периодической.
3. Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).
4. Определим промежутки знакопостоянства функции. Для этого на числовой оси отметим нули функции, т.е. точки пересечения с осью Ох, и точки, в которых функция не определена. А далее определим знаки функции в получившихся промежутках:
– +
+
-2 0
Таким
образом, функция положительна (а значит
ее график расположен над осью Ох)
на промежутке
;
функция отрицательна (а значит ее график
расположен под осью Ох)
на промежутке
.
5.
В силу свойств непрерывных функций
функция
непрерывна там, где определена, т.е. при
всех действительных x,
кроме x=-2.
Поскольку
,
то прямая x
= -2
является
вертикальной асимптотой графика.
Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты:
.
Таким
образом, прямая
– наклонная асимптота.
6.
Для определения экстремумов функции
найдем первую производную:
,
и
решим уравнение:
,
т.е.
.
Откуда
получаем критические точки:
.
+
– – +
-4 -2 0
Таким
образом, x
= -4
– точка максимума, x
= 0
– точка
минимума. Экстремумы функции:
.
Кроме
того, f(x)
возрастает на интервалах
и
,
а убывает на интервалах
и
.
7. Найдем теперь вторую производную:
Очевидно,
что знак второй производной зависит
только от знака знаменателя. При x>-2
и график направлен выпуклостью вниз, а
при x>-2
и график направлен выпуклостью вверх.
Используя полученную информацию о функции, строим эскиз графика.
Задание 6. Найти неопределенные интегралы:
а)
.
Разбиваем интеграл на три интеграла и работаем с каждым:
б)
.
.
в)
.
Сделаем
замену переменной: x²
= t.
Тогда
.
Следовательно,
Можно
было выполнить замену:
,
тогда
,
а
.
г)
.
.
д)
.
Применим формулу интегрирования по
частям:
.
=
=
.
Образцы решения заданий 61-80 можно найти в учебном пособии Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.