§ 2. Интегрирование методом замены переменной
Теорема
3. Пусть
на некотором
промежутке определена сложная функция
,
а функция
непрерывна на этом промежутке и
дифференцируема во всех его внутренних
точках. Тогда если существует интеграл
,
то существует и интеграл
,
причём имеет место равенство
Данная формула называется формулой
интегрирования подстановкой. Она
показывает, что таблица интегралов
справедлива независимо от того, является
переменная интегрирования независимой
переменной или функцией. Для её успешного
применения в подинтегральном выражении
нужно увидеть производную
функции
,
которая должна быть подведена под знак
дифференциала.
В примерах 7-23 первообразная может быть легко найдена с использованием метода подведения под знак дифференциала и таблицы основных интегралов.
Пример 7.
.
Пример 8.
,
.
Пример 9.
.
Пример 10.
,
.
Пример 11.
.
Пример 12.
.
Пример 13.
.
Пример 14.
.
Пример 15.
.
Пример 16.
.
Пример 17.
.
Пример 18.
.
Пример 19.
.
Пример 20.
.
Пример 21.
.
Пример 22.
.
Пример 23.
.
Подинтегральная функция определена
при
,
т.е. при
и при
.
Поэтому для
получим:
,
а для
в силу равенства
будем иметь:
.
Полученные решения могут быть объединены:
.
В более сложных
случаях формулу
необходимо использовать в обратном
порядке, т.е. справа налево:
.
Делая замену
переменной
,
мы сводим вычисление интеграла
к нахождению интеграла
.
Формула
называется формулой интегрирования
заменой переменной. Из неё следует, что
для функции
на рассматриваемом промежутке существует
обратная функция
.
В §§ 5 и 6 этот метод интегрирования
будет рассмотрен подробно.
§ 3. Метод интегрирования по частям
Теорема 4.
Если функции
и
дифференцируемы и интеграл
существует, то существует и интеграл
,
причём
.
Формула
называется формулой интегрирования по
частям. Она эффективна в том случае,
когда подинтегральное выражение удаётся
представить в виде произведения
и
так, что интегрирование выражений
и
является задачей более простой, чем
интегрирование исходного выражения.
Метод интегрирования
по частям имеет более ограниченную
область применения, чем замена переменной,
но есть целые классы интегралов, которые
находятся этим методом, причём часто
правило
приходится применять повторно. Интегралы
вида
,
где
- многочлен степени
,
а
одна из функций
,
,
,
,
,
,
,
вычисляются интегрированием по частям.
Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
Пример 24.
.
Положим
,
тогда
и
.
Пример 25.
.
Положим
тогда
,
и
.
К интегралу
применим метод подведения под знак
дифференциала:
.
Для исходного интеграла окончательно получим:
=
.
Пример 26.
.
Положим
,
,
,
тогда
.
Пример 27.
.
Пусть
,
,
тогда
,
и
=
.
Пример 28.
.
Положим
,
,
тогда
,
и
=
=
.
Пример 29.
.
Пусть
,
,
тогда
,
и
=
.
Пример 30.
.
Далее положим
,
,
тогда
,
,
и для интеграла будем иметь:
=
.
Пример 31.
.
Данный интеграл называется циклическим.
В процессе его нахождения мы получим
уравнение для определения интеграла,
при этом нам придётся применить метод
интегрирования по частям два раза,
выбирая за функцию
либо экспоненту, либо тригонометрическую
функцию.
Положим
,
тогда
,
.
Выберем в качестве
опять тригонометрическую функцию:
и, применив метод интегрирования по
частям к интегралу
,
получим равенство для определения
исходного интеграла:
,
откуда следует:
.
Равенство позволяет легко найти интеграл :
=
Пример 32.
.
Данный интеграл также является
циклическим. Положим
,
,
тогда
,
,
и для интеграла
будем иметь:
=
.
К полученному интегралу
снова применим интегрирование по частям,
взяв за
то же самое дифференциальное выражение,
а за
,
следовательно,
,
:
=
=
.
Из полученного равенства находим интеграл:
=
.
Добавим в основную таблицу ещё два часто встречающихся интеграла.
Пример 33.
.
Пусть
,
,
.
Тогда
,
откуда находим:
.
Пример 34.
.
Полагая
,
,
,
,
получим:
=
.
Из данного равенства
следует, что
.
Пример 35.
Получить для интеграла
,
,
рекуррентную формулу.
Следуя методу интегрирования по частям, положим
,
.
Тогда
,
и
,
откуда
.
Для
легко получить:
,
а тогда полученная рекуррентная формула
позволит вычислить
для
.