12.2.1. Статистические характеристики.

Математическая статистика - теория, в которой рассматриваются способы агрегирования информации посредством вычисления совокупных и средних значений показателей.

Виды средних значений:

1) среднее арифметическое:

M = (V1 + V2 + ... + Vn) / n

2) среднее геометрическое:

G = SQRT(V1*V2*...*Vn)

(здесь и далее SQRT - функция извлечения квадратного корня)

3) среднее квадратическое (выражается в тех же единицах, что и характеризуемый показатель):

S = SQRT((V1*V1 + V2*V2 + ... + Vn*Vn) / n)

4) дисперсия (сумма квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения, взвешенных на вероятности этих отклонений):

V = Р1(V1 - M)**2 + Р2(V2 - M)**2 + .. + Рn(Vn - M)**2

где M - среднее арифметическое значение;

Рi - вероятность отклонения Vi - M;

5) среднее гармоническое:

H = n / (1/V1 + 1/V2 + ... + 1/Vn)

6) мода: наиболее часто встречаемое значение;

7) медиана (значение, равное среднему между наибольшим и наименьшим):

M = (Vmax + Vmin) / 2

8) среднее взвешенное:

W = (V1*W1 + V2*W2 + ... + Vn*Wn) / (W1 + W2 + ... + Wn)

где Wi - количество значений Vi;

Характеристики разнообразия (разброса значений):

1) среднее квадратичное отклонение (характеризует абсолютный разброс значений; выражается в тех же единицах, что и характеризуемый показатель):

S = SQRT(((V1-M)*(V1-M)+(V2-M)*(V2-M)+...+(V1-M)*(V1-M))/n-1)

здесь:

M - средняя арифметическая величина;

n - количество значений показателя;

2) коэффициент вариации (характеризует относительный разброс значений - относительно среднего арифметического):

C = (100 * S) / M

здесь:

S - среднее квадратичное отклонение;

M - средняя арифметическая величина;

3) размах (разница между наибольшим и наименьшим значением):

L = Vmax - Vmin

12.2.2. Статистические методы построения моделей.

Основные статистические методы построения формул, выражающих взаимозависимость измеренных показателей некоторых объектов:

1. Метод корреляционного анализа - аппроксимация эмпирической зависимости между величинами X и Y формулой вида

Y = K*X + A

где K - коэффициент корреляции.

2. Метод множественной регрессии - аппроксимация зависимости показателя от некоторого набора показателей, не зависящих один от другого, формулой вида

Y = A + B1*X1 + B2*X2 + ... + BN*XN

где Xi - показатели;

Bi - коэффициенты регрессии.

3. Метод факторного анализа - выявление новых показателей Y1 ..YN (факторов) вместо имеющихся показателей X1..XM, где N < M. Метод реализуется в предположении, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых показателей X1..XM определяются влиянием на них меньшего числа ненаблюдаемых показателей Y1..YN.

При использовании какого-либо метода математической статистики для получения математической модели некоторой зависимости исследователь должен иметь априорную гипотезу о типе этой зависимости. Статистические методы позволяют лишь подтвердить гипотезу или выяснить значения коэффициентов в формуле, выражающей предполагаемую зависимость между параметрами.