2.2.4.Стратегии метода резолюций

До сих пор для доказательства противоречивости формулы мы приводили соответствующий вывод пустого дизъюнкта. Однако, основная и наиболее сложная проблема метода резолюций – найти этот вывод. В множестве дизъюнктов существует, как правило, не одна пара дизъюнктов и не одна пара контрарных литер, к которым можно применить правило резолюций. Способ выбора дизъюнктов и литер в них, для применения правил резолюции (и склейки), называется стратегией метода.

Алгоритм 4. Стратегия насыщения уровней (перебор вширь, полный перебор).

Вход: S – исходное упорядоченное множество дизъюнктов.

1. S₀=S, n=0.

2. для n>0, если получены последовательности дизъюнктов S₀, S₁,…,S_n-1, последовательность S_n будет состоять из всевозможных резольвент дизъюнктов D₁ и D₂, где в качестве D₂ берутся по порядку дизъюнкты из S_n-1, а в качестве D₁ – дизъюнкты из S₀,S₁,…,S_n-1, предшествующие D₂.

Пример 2.2.14.

S={XvY, ¬Xv¬Y, XvZ, ¬XvZ, ¬Z}:

S0:	1	XvY,
	2	¬Xv¬Y,
	3	XvZ,
	4	¬XvZ,
	5	¬Z,
S1:	6	Yv¬Y,	из (1) и (2),	т. истин.
	7	Xv¬X,	из (1) и (2),	т. истин.
	8	¬YvZ,	из (2) и (3),
	9	YvZ,	из (1) и (4),
	10	Z,	из (3) и (4),
	11	X,	из (3) и (5),
	12	¬X,	из (4) и (5)
S2:	13	XvY,	из (1) и (6),	уже был
	14	¬Xv¬Y,	из (2) и (6),	уже был
	15	XvY,	из (1) и (7),	уже был
	16	¬Xv¬Y,	из (2) и (7),	уже был
	17	XvZ,	из (3) и (7),	уже был
	18	¬XvZ,	из (4) и (7),	уже был
	19	XvZ,	из (1) и (8),	уже был
	20	¬YvZ,	из (6) и (8),	уже был
	21	¬XvZ,	из (2) и (9),	уже был
	22	YvZ,	из (6) и (9),	уже был
	23	Z,	из (8) и (9),	уже был
	24	□.	из (5) и (10).

Мы видим, что порождено много лишних дизъюнктов. Удаление тождественно истинного дизъюнкта не влияет на выполнимость множества дизъюнктов. Некоторые дизъюнкты порождаются неоднократно. Их также можно удалить. В общем случае можно вычеркивать из вывода дизъюнкты, являющиеся расширениями уже имеющихся в выводе дизъюнктов.

Определение 2.2.13. Дизъюнкт D называется расширением дизъюнкта C, если существует подстановка σ такая, что σ(C)vQ =D.

Для логики высказываний это означает, что D=CvQ. Для логики предикатов приведем пример.

Пример 2.2.15.

D=Q(a)vP(b,y)vR(u) есть расширение дизъюнкта C=P(x,y)vQ(z)vQ(v).

Подстановка σ={x=b, z=a, v=a)}.

Пример 2.2.16.

Стратегия насыщения уровней с удалением лишних дизъюнктов дает более короткий вывод для примера. 2.2.14.

S0:	1	XvY,
	2	¬Xv¬Y,
	3	XvZ,
	4	¬XvZ,
	5	¬Z,
S1:	6	¬YvZ,	из (2) и (3),
	7	YvZ,	из (1) и (4),
	8	Z,	из (3) и (4),
	9	X,	из (3) и (5),
	10	¬X,	из (4) и (5)
S2:	11	□.	из (5) и (8).

Рассмотренные стратегии являются полными в том смысле, что если множество дизъюнктов S невыполнимо, то из S пользуясь стратегией можно вывести пустой дизъюнкт.

Упражнение 2.2.6.

Доказать полноту стратегии полного перебора.

Упражнение 2.2.7.

Доказать полноту стратегии вычеркивания.

Указание: если D–расширение C, то DvCC. Воспользоваться результатом упражнения 2.2.6

Определение 2.2.14. Револьвентой дизъюнктов D₁ и D₂ называется одна из следующих бинарных револьвент:

1. бинарная револьвента дизъюнктов D₁ и D₂,

2. бинарная револьвента склейки D₁ и дизъюнкта D₂,

3. бинарная револьвента дизъюнкта D₁ и склейки D₂,

4. бинарная револьвента склейки D₁ и склейки D₂.

Определение 2.2.15. (Другое определение револьвенты):

пусть D₁и D₂ -дизъюнкты - множества литер и d₁D₁и d₂D₂ -подмножества литер,

пусть σ - наиболее общий унификатор множества d₁¬d₂ (¬d₂ - множество литер, полученное из d₂ –путем добавления отрицания к каждой литере, если она положительная, или снятия отрицания, если она отрицательная)

тогда револьвентой дизъюнктов D₁ и D₂ называется дизъюнкт - множества литер σ((D₁\d₁)(D₂\d₂)).

Пример 2.2.17.

Исходные дизъюнкты: ¬Q(a,f(x))v¬Q(a,f(y))vR(x), Q(u,z)v¬P(z). Т.е. D₁={¬Q(a,f(x)), ¬Q(a,f(y)), R(x)}, D₂={Q(u,z),¬P(z)}

Выводим револьвенты:

¬Q(a,f(y))vR(x)v¬P(f(x)) (d₁={¬Q(a,f(x)) }, d₂={Q(u,z) }, НОУ σ={u=a, z=f(x)}

¬Q(a,f(x))vR(x)v¬P(f(y)) (d₁={¬Q(a,f(y)) }, d₂={Q(u,z) }, НОУ σ={u=a, z=f(y)}

R(x)v¬P(f(x)) (d₁={¬Q(a,f(x)), ¬Q(a,f(y)) }, d₂={Q(u,z) }, НОУ σ={u=a, z=f(x), y=x}

Упражнение 2.2.8.

Исходные дизъюнкты: ¬Q(a,f(x))v ¬Q(a,f(y))v R(x), Q(u,f(x))vQ(u,z)v¬P(z). Сколько револьвент можно вывести? Найдите эти револьвенты.

Упражнение 2.2.9.

Доказать, что определения резольвенты 2.2.14 и 2.2.15 эквивалентны.

Алгоритм 5. Стратегия перебора в глубину.

Вход: S – исходное упорядоченное множество дизъюнктов, в каждом дизъюнкте литеры также упорядочены. Если из двух дизъюнктов выводимы несколько резольвент, то эти резольвенты также упорядочены.

1. в качестве D₁ берется последний дизъюнкт из S.

2. в качестве D₂ берется первый дизъюнкт из S.

3. пока нет резольвент D₁ и D₂ и множество S не исчерпано выбирать в качестве D₂ следующий по порядку дизъюнкт из S.

4. если множество S исчерпано, то ВЫХОД(неудача)

5. если есть резольвенты D₁ и D₂, то взять первую по порядку

6. если взятая резольвента – пустой дизъюнкт, то КОНЕЦ РАБОТЫ(успех).

7. если взятая резольвента – не пустой дизъюнкт и ее еще не было, то поместить ее в конец множества S, получить множество S₁.

8. применить описываемый алгоритм рекурсивно к множеству S₁.

9. если есть еще резольвенты D₁ и D₂, то взять следующую по порядку резольвенту D₁ и D₂, перейти к п. 6).

10. если нет больше резольвент D₁ и D₂, то перейти к п. 3).

Пример 2.2.17.

Стратегия перебора в глубину дает следующий вывод для примера. 2.2.14.

1	XvY,
2	¬Xv¬Y,
3	XvZ,
4	¬XvZ,
5	¬Z,
6	X,	из (5) и (3),		рекурсивный вызов
7	¬Y,	из (6) и (2),		рекурсивный вызов
8	X,	из (7) и (1),	уже был	возврат к шагу 7
7	¬Y,	возврат,	резольвент нет	возврат к шагу 6
6	X,	возврат,
7	Z,	из (6) и (4),		рекурсивный вызов
8	□.	из (7) и (5)		КОНЕЦ РАБОТЫ (успех)