2.2.3.Метод резолюций для логики первого порядка

Сформулируем правила порождения дизъюнктов для логики первого порядка.

Определение 2.2.8. Правилом резолюций в логике предикатов называется следующее правило

из дизъюнктов ¬P(t₁,...,t_n)vF и P(s₁,...,s_n)vG выводим дизъюнкт σ(F)vσ(G),

где σ – наиболее общий унификатор множества {P(t₁,...,t_n), P(s₁,...,s_n)}.

Дизъюнкт σ(F)vσ(G) называется бинарной револьвентой двух дизъюнктов, а литеры ¬P(t₁,…,t_n) и P(s₁,…,s_n) отрезаемыми литерами.

Пример 2.2.10.

Исходные дизъюнкты: ¬Q(a,f(x))vR(x), Q(u,z)v¬P(z). По правилу резолюций выводим дизъюнкт:

R(x)v¬P(f(x)) (отрезаемые литеры - ¬Q(a,f(x)), Q(u,z), НОУ σ={u=a, z=f(x)}

В отличие от логики высказываний, в логике предикатов нам понадобится еще одно правило.

Определение 2.2.9. Правилом склейки в логике предикатов называется правило:

из дизъюнкта ◊P(t₁,...,t_n)v...v◊P(s₁,...,s_n)vF выводим дизъюнкт σ (◊P(t₁,...,t_n)vσ(F),

где σ – наиболее общий унификатор множества {P(t₁,...,t_n),...,P(s₁,...,s_n)},

◊ – знак отрицания или его отсутствие.

Дизъюнкт σ(◊P(t₁,…,t_n)vσ(F) называется склейкой первого дизъюнкта.

Пример 2.2.11.

Исходный дизъюнкт: ¬Р(х,у)v¬P(у,х)v¬Р(а,а)vQ(x,y,v), по правилу склейки дает дизъюнкт ¬Р(а,а)vQ(a,a,v).

НОУ - σ={х=a, у =a }.

Определение вывода в логике первого порядка немного отличается от аналогичного определения в логике высказываний.

Определение2.2.12. Пусть S – множество дизъюнктов. Выводом из множества дизъюнктов S называется последовательность дизъюнктов

D₁,D₂,…,D_n,

такая, что каждый дизъюнкт D_i принадлежит S, выводим из предыдущих дизъюнктов по правилу резолюций или выводим из предыдущего по правилу склейки.

Как и в логике высказываний, дизъюнкт D выводим из S, если существует вывод из S, последним дизъюнктом которого является D.

Пример 2.2.12.

Исходное множество дизъюнктов: S={¬B(x)v¬C(x)vT(f(x)), C(у)vT(f(z)), B(a)}. Рассмотрим последовательность:

D₁=¬B(x)v¬C(x)vT(f(x)), D₁S.

D₂=C(у)vT(f(z)), D₂S.

D₃=¬B(x)vT(f(x))vT(f(z)), бинарная резольвента дизъюнктов D₁, D₂, НОУ - σ={у = х}.

D₄=¬B(x)vT(f(x)), из D₃ по правилу склейки, НОУ - σ={z = х}.

D₅=B(a), D₅S.

D₆=T(f(a)), бинарная резольвента дизъюнктов D₄, D₅, НОУ - σ={ х = a }.

Рассматриваемая последовательность является выводом из S.

Теорема 4. Множество дизъюнктов S логики первого порядка невыполнимо тогда и только тогда, когда из S выводим пустой дизъюнкт.

Метод резолюций для доказательства следования формулы G из формул F₁,…,F_k может применяться лишь в случае, когда формулы F_1,…, F_k и G не имеют свободных переменных.

Вопрос: Можно ли сформулировать содержательное утверждение, которое записывается формулой логики предикатов в некоторой интерпретации?

Метод резолюций в логике предикатов применяется в следующей последовательности шагов:

1. записывается формула логики предикатов F₁&F₂&…&F_k, &G;

2. формула приводится к виду (Q₁x₁)(Q₂x₂)… (Q_nx_n)F(x₁ , x₂,…, x_n) по теореме 2 при отсутствии свободных переменных;

3. удаляются кванторы существования, для этого подформулу вида . заменяется на , где s – новый функциональный символ, не входящий до этого в сигнатуру, s – называется функцией Сколема;

4. удаляются кванторы всеобщности;

5. оставшаяся бескванторная формула приводится к кнф, которая рассматривается как множество дизъюнктов;

6. выводится пустой дизъюнкт.

Пример 2.2.13.

Докажем, что формула G является логическим следствием множества формул F₁,F₂.

,

,

.

Будем следовать описанной последовательности шагов.

1. записывается формула логики предикатов F₁&F₂&G;

2. преобразуем отдельно F₁, F₂,G

,

,

;

3. удаляются кванторы существования, a, b-сколемовские константы,

,

,

;

4. удаляются кванторы всеобщности

,

,

;

5. оставшаяся бескванторная формула приводится к кнф , которая рассматривается как множество дизъюнктов S= ;

6. выводится пустой дизъюнкт

S;

S;

, бинарная резольвента дизъюнктов D₁, D₂, НОУ - σ={х = a};

S;

, бинарная резольвента дизъюнктов D₃, D₄, НОУ - σ={y = b};

S;

S;

- бинарная резольвента дизъюнктов D₆, D₇, НОУ - σ={y = b};

D₉ = □ - бинарная резольвента дизъюнктов D₅, D₈, НОУ - ;