2.2.2.Подстановка и унификация

Формулы логики предикатов содержат переменны, поэтому для сопоставления литер необходимо осуществлять подстановки вместо переменных их значений.

Определение 2.2.4. Подстановкой называется множество подстановочных компонент вида

s={x₁=t₁, x₂=t₂,…, x_n=t_n},

где x₁,x₂,…,x_n – различные переменные, t₁,t₂,…,t_n – термы, причем терм t_i не содержит переменной x_i (1≤ i ≤ n).

Если σ = (x₁=t₁,...,x_n=t_n) – подстановка, а F – некоторый объект логики предикатов (терм, дизъюнкт, формула, множество объектов и т. д.), то через σ(F) будем обозначать дизъюнкт, полученный из F одновременной заменой всех x_i на t_i,.

Пример 2.2.4.

если σ={x=f(y), y=c, z=g(u)), F=R(x, y, z)v¬P(f(y)), то σ(F)=R(f(y), c, g(u))v¬P(f(c).

Определение 2.2.5. Пусть {E₁,…,E_k} – множество объектов логики предикатов. Подстановка σ называется унификатором этого множества, если σ(E₁)=σ(E₂)=…=σ(E_k). Множество унифицируемо, если существует унификатор этого множества.

Пример 2.2.5.

Множество атомарных формул {Q(a,x,f(x)), Q(u,у,z)} унифицируемо подстановкой {u=a, x=у, z=f(у)},

а множество {R(x,f(x)), R(u,u)} неунифицируемо.

Если множество унифицируемо, то существует, как правило, не один унификатор этого множества, а несколько. Среди всех унификаторов данного множества выделяют так называемый наиболее общий унификатор.

Определение 2.2.6. Пусть ξ и η – две подстановки. Тогда произведением (композицией) подстановок ξ и η (η◦ξ) называется подстановка  такая, что для любого объекта E выполняется равенство (E)=η(ξ(E)).

Будем конструировать подстановку  следующим образом:

Алгоритм 1. Конструирование композиции подстановок.

Вход: подстановки ξ={x₁=t₁, x₂=t₂,…, x_k=t_k} и η={y₁=s₁, y₂=s₂,…, y_l=s_l}

1. получим из подстановок η и ξ множество подстановочных компонент {x₁=η(t₁), x₂=η(t₂),…,x_k=η(t_k), y₁=s₁, y₂=s₂,…, y_l=s_l},

2. удалим из него компоненты вида x_i=x_i для, если таковые найдутся для 1≤ i≤ k,

3. удалим компоненты вида y_j=s_j, если y_j {x₁,…, x_k}, для 1≤j≤l, получим подстановку =η◦ξ.

Пример 2.2.6

Рассмотрим пример. Пусть ξ = {x=f(y), z=y, u=g(d)}, η = {x=c, y=z}.

1. {x=f(y), z=z, u=g(d), x=c, y=z}.

2. {x=f(y), u=g(d), x=c, y=z}.

3. η◦ξ = {x=f(y), u=g(d), y=z}.

Упражнение 2.2.2.

Доказать, что результатом алгоритма 1 является композиция подстановок, удовлетворяющая определению 2.2.6.

Упражнение 2.2.3.

Доказать, что композиция подстановок ассоциативно, т.е. для любых подстановок ξ, η, ζ выполняется равенство ξ◦(η◦ζ)=(ξ◦η)◦ζ.

Введем пустую подстановку – подстановку, не содержащую подстановочных компонент. Будем обозначать ее через ε.

Упражнение 2.2.4.

Доказать, что пустая подстановка является единицей относительно умножения, т.е. для любой подстановки σ выполняются равенства σ◦ε=ε◦σ=σ.

Определение 2.2.7. Унификатор σ называется наиболее общим унификатором (НОУ), если для любого унификатора τ того же множества существует подстановка ξ такая, что τ=ξ○σ.

Пример 2.2.7

Для множества {P(x,f(а), g(z)), P(f(b),y,v)} наиболее общим унификатором является подстановка σ={x=f(b), y=f(a), v=g(z)}. Подстановка τ={x=f(b), y=f(a), z=c, v=g(c)}, то ξ={z=c} также является его унификатором. Однако τ=ξ○σ где ξ={z=c}.

Для изложения алгоритма нахождения наиболее общего унификатора потребуется понятие множества рассогласований в множестве объектов. Множество рассогласований строится следующим образом.

Алгоритм 2. Построение множества рассогласований.

Вход: множество объектов логики предикатов М, каждый объект представляет собой последовательность символов.

1. выделим первую слева позицию (позицию рассогласований), в которой не для всех объектов стоят одинаковые символы.

2. в каждом объекте выпишем подобъект, которое начинается с данной позиции (этими подобъектами могут быть литера, атомарная формула, терм).

3. множество полученных подобъектов называется множеством рассогласований в М.

Пример 2.2.8.

M={P(x, f(y), a), P(x,u, g(y)), P(x, c, v)}, позиция рассогласований – пятая, множество рассогласований - {f(y), u, c}.

M={P(x, y), ¬P(a, g(z))}, позиция рассогласований – первая, множество рассогласований - {P(x, y), ¬P(a, g(z))}.

M={¬P(x, y),¬Q(a, v)}, позиция рассогласований – вторая, множество рассогласований - {P(x, y), Q(a, v)}.

Алгоритм 3. Алгоритм унификации.

Вход: множество литер М, каждая литера представляет собой последовательность символов.

1. Положить k=0, M_k=M, σ_k=ε.

2. Если множество М_k состоит из одной литеры, то выдать σ_k в качестве НОУ, завершить работу иначе найти множество N_k рассогласований в M_k.

3. Если в множестве N_k существует переменная v_k и терм t_k, не содержащий v_k, то перейти к шагу 4, иначе множество М неунифицируемо, завершить работу.

4. Положить σ_k+1={v_k,=t_k}○σ_k,. К множеству M_k применить подстановку v_k=t_k, полученное множество литер взять в качестве M_k+1.

5. Положить k=k+1 и перейти к шагу 2.

Пример 2.2.9. Проиллюстрируем работу алгоритма унификации на множестве М.

М={P(x,f(y)), P(a,u)}.

• 1). k=0, σ₀=ε, M₀=M,

• 2). N₀={x,a},

• 3)-4). σ₁={x=a}, M₁={P(a,f(y)),P(a,u)},

• 5). k=1,

• 2). N₁={f(y), u},

• 3)-4). σ₂={x=a, u=f(y)}, M₂={P(a,f(u))},

• 5). k=2,

• 2). НОУ={x=a, u=f(y)}. Конец работы.

M={P(x,f(y)), P(a,b)}.

• 1). k=0, σ₀=ε, M₀=M,

• 2). N₀={x,a},

• 3)-4). σ₁={x=a}, M₁={P(a,f(y)), P(a,b)},

• 5). k=1,

• 2). N₁={f(y), b},

• 3) М неунифицируемо. Конец работы.

Упражнение 2.2.5.

Доказать, что алгоритм 3 правильно (в соответствии с определениями) оценивает унифицируемость множества литер и находит НОУ.