2.1.7.Тождественная истинность, общезначимость, выполнимость, противоречивость формул логики предикатов

Определение 2.1.11. Формула F(x₁,…,x_n) называется тождественно истинной или общезначимой, если для любой интерпретации φ при любых значениях свободных переменных x₁=a₁,…,x_n=a_n выполняется F(a₁,…,a_n)=1.

Формула F(x₁,…,x_n) называется выполнимой, если существует интерпретация φ и значения свободных переменных x₁=a₁,…,x_n=a_n такие, что F(a₁,…,a_n)=1.

Формула F(x₁,…,x_n) называется невыполнимой или противоречивой, если для любой интерпретации φ при любых значениях свободных переменных x₁=a₁,…,x_n=a_n выполняется F(a₁,…,a_n)=0.

Упражнение 2.1.6

Доказать, что формулы F(x₁,…,x_n) и G(x₁,…,x_n) равносильны тогда и только тогда, когда формула F(x₁,…,x_n) G(x₁,…,x_n) тождественно истинна.

2.1.8.Рассуждения в логике высказываний (предикатов)

Одна из основных целей изучения логики состоит в получении возможности построения базы знаний, позволяющей накапливать знания в виде формул и выводить возможные следствия из этих знаний.

Определение 2.1.12. Рассуждением называется конструкция вида , где F₁,F₂,…,F_k,-называются посылками, а G-следствием, F₁,F₂,…,F_k, G – формулы логики высказываний (предикатов)..

Пример 2.1.9

, - известно, что эти рассуждения – верные.

-, - - неверные рассуждения.

-- верное рассуждение.

-- неверное рассуждение.

Определение 2.1.13. Рассуждение называется верным (формула G в этом случае называется логическим следствием формул F₁,F₂,…,F_k,), если для любой интерпретации φ (в логике предикатов, дополнительно, - для любых значений свободных переменных), для которой выполняются условия φ(F₁)=φ(F₂)=…=φ(F_k)=1, выполняется также φ(G)=1.

Упражнение 2.1.7

Доказать, что рассуждение верно тогда и только тогда, когда формула F₁&F₂&…&F_k,G является тождественно истинной (общезначимой).

Упражнение 2.1.8

Доказать, что рассуждение верно тогда и только тогда, когда формула F₁&F₂&…&F_k, &G является невыполнимой (противоречивой).

2.2.Метод резолюций

Назначение метода резолюций - доказательство того, что формула G является логическим следствием формул F₁,F₂,...,F_k. В основе метода лежит доказательство невыполнимости формулы F₁&F₂&…&F_k&G. Рассматриваемая формула приводится к кнф и кнф рассматривается как множество дизъюнктов. Дизъюнкт же может представляться, как множество литер.

2.2.1.Метод резолюций в логике высказываний

Определение 2.2.1. Литеры L и ¬L называются противоположными или контрарными.

Метод резолюций предполагает процедуру порождения новых дизъюнктов из заданного множества. В логике высказываний она основана на правиле резолюций.

Определение 2.2.2. Правилом резолюций в логике высказываний называется следующее правило:

из дизъюнктов ХvF и ¬XvG выводим дизъюнкт FvG.

Упражнение 2.2.1

Доказать правильность рассуждения .

Пример 2.2.1

Исходные дизъюнкты: ¬XvYvZ, Xv¬Y. По правилу резолюций выводим дизъюнкты:

YvZv¬Y (контрарные литеры X и ¬X)

¬XvZvX (контрарные литеры Y и ¬Y).

Если исходные дизъюнкты ¬X и X, из этой пары выводим дизъюнкт, не содержащий ни одной литеры. Будем называть его пустым и обозначать знаком «□». Пустой дизъюнкт равносилен значению 0. Значит F&□□ и Fv□ F.

Определение 2.2.3. Пусть S – множество дизъюнктов. Выводом из S называется последовательность дизъюнктов

D,D₂,...,D_n

такая, что каждый дизъюнкт этой последовательности принадлежит S или следует из предыдущих по правилу резолюций. Дизъюнкт D выводим из S, если существует вывод из S, последним дизъюнктом которого является D.

Пример 2.2.2

Исходное множество дизъюнктов: S={¬XvYvZ, ¬YvU, X}. Рассмотрим последовательность:

D₁=¬XvYvZ, D₁S.

D₂=¬YvU, D₂S.

D₃=¬XvZvU, следует из D₁, D₂ по правилу резолюций.

D₄=X, D₄S.

D₅=ZvU, следует из D₃, D₄ по правилу резолюций.

Рассматриваемая последовательность является выводом из S и дизъюнкт ZvU выводим из S.

Применение метода резолюций основано на следующей теореме.

Теорема 3. Множество дизъюнктов логики высказываний S невыполнимо тогда и только тогда, когда из S выводим пустой дизъюнкт.

Пример 2.2.3

Докажем, что формула G=Z является логическим следствием формул F₁=¬XvYX&Z, F₂=¬YZ. Для этого нужно доказать невыполнимость формулы F₁&F₂&¬G (¬XvYX&Z)&(¬YZ)&¬Z. Приведем ее к кнф.

(¬XvYX&Z)&(¬YZ)&¬Z(¬(¬XvY)v(X&Z))&(¬¬YvZ)&¬Z((X&¬Y)v(X&Z))&(YvZ)&¬Z(X&(¬YvZ))&(YvZ)&¬ZX&(¬YvZ)&(YvZ)&¬Z

Тогда исходное множество дизъюнктов S={X, ¬YvZ, YvZ, ¬Z}. Вывод пустого дизъюнкта:

D₁=¬YvZ, D₁S.

D₂=¬Z, D₂S.

D₃=¬Y, следует из D₁, D₂ по правилу резолюций.

D₄=YvZ, D₄S.

D₅=У, следует из D₂, D₄ по правилу резолюций.

D₆=□.

Пустой дизъюнкт выводим из S, следовательно, формула G является логическим следствием формул F₁, и F₂, ч. т. д.