2.1.5.Тождественная истинность формул логики высказываний

Определение 2.1.8 Формула F называется тождественно истинной если для любой интерпретации φ выполняется равенство φ(F)=1.

Пример 2.1.7

Доказать, что формула F=X&YX является тождественно истинной.

Для доказательства нужно составить таблицу истинности формулы F (см. табл. 1.4).

Таблица 1.4

X	Y	X&Y	F=X&YX
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

Столбец, соответствующий формуле F, содержит только значения 1, значит формула F=X&YX тождественно истина, ч. т. д.

Упражнение 2.1.3

Доказать, что формулы F и G равносильны тогда и только тогда, когда формула FG является тождественно истинной.

2.1.6.Равносильность формул логики первого порядка

Определение 2.1.9. Формулы F(x₁,…,x_n) и G(x₁,…,x_n) называются равносильными (F(x₁,…,x_n)G(x₁,…,x_n)), если для любой интерпретации φ при любых значениях свободных переменных x₁=a₁,…,x_n=a_n истинностные значения высказываний φ(F(a₁,…,a_n)) и φ(G(a₁,…,a_n)) совпадают.

Пример 2.1.8

Доказать, что формулы и равносильны.

Пусть φ - некоторая интерпретация, aМ. Пусть F(a)=1. Значит и Следовательно, найдется bM, для которого (в противном случае выполнялось бы равенство ). Если то и, следовательно, и ,, Обратное утверждение доказывается аналогично. Следовательно, формулы F(x) и G(x) равносильны, ч. т. д.

Упражнение 2.1.4

Доказать, что следующие формулы логики предикатов равносильны (см. табл. 2.1.4):

Таблица 2.1.4

	вынос квантора всеобщности из конъюнкции
	вынос квантора существования из дизъюнкции
KxF(x)KzF(z)	переименование связанных переменных, K{ }.
K1xK2z(F(x)G(z))K1xF(x)K2zG(z)	общий случай выноса квантора за скобки, здесь K1, K2{ },{&, V}.
	перестановка одноименных кванторов
	перестановка одноименных кванторов
	перенос квантора через отрицание
	перенос квантора через отрицание

Упражнение 2.1.5

Проверить равносильность следующих пар формул:

В логике первого порядка способ доказательства равносильности посредством тождественных преобразований является основным. Он может также использоваться для преобразования формул к тому или иному виду, что будет использовано в дальнейшем.

Определение 2.1.10. Литерой будем называли атомарную формулу (положительная литера) или ее отрицание (отрицательная литера), элементарной дизъюнкцией или дизъюнктом – дизъюнкцию литер или одиночную литеру, конъюнктивной нормальной формой или кнф– конъюнкцию дизъюнктов.

Теорема 2. Любая формула логики предикатов может быть тождественными преобразованиями приведена к виду (Q₁x₁)(Q₂x₂)… (Q_nx_n)F(x₁ , x₂,…, x_n, y₁ , y₂,…, y_n), где Q₁, Q₂,…, Q_n – кванторы, связывающие переменные x₁ , x₂,…, x_n, а F(x₁ , x₂,…, x_n, y₁, y₂,…, y_n) – формула логики предикатов, не содержащая кванторов, y₂,…, y_n – свободные переменные.