К задачам 1-10.

В задачах 1-10 использованы различные формулы теории вероятности.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и в третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8.найти вероятности того, что формула содержится:

а) только в первом справочнике;

б) только в одном справочнике;

в) не более чем в двух справочниках;

г) хотя бы в одном справочнике.

Решение.

а) обозначим события А_i- «нужная формула содержится в i-ом справочнике», В-«формула содержится только в первом справочнике».

Очевидно, , т.е. совместное осуществление трех событий состоит в том, что формула содержится в первом и не содержится во втором и в третьем справочнике. Учитывая, что события А₁, А₂ и А₃ независимы, получим

б) пусть событие С-«формула содержится только в одном из трех справочников». Очевидно, событие С происходит , если формула содержится только в пером ли только во втором, или только в третьем справочнике.

в)

г) Е-«содержится хотя бы в одном справочнике». Проще найти вероятность события Е, если перейти к противоположному событию -«не содержится ни в одном справочнике».

Формулы полной вероятности и Байеса.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков:10% от первого, 40% от второго и 50% от третьего. Практика показала, что телевизоры , поступающие от первого , второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока , соответственно в 70%,90% и 80% случаев.

1) найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;

2) проданный телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого поставщика вероятнее всего поступил телевизор?.

Решение.

1. обозначим через А- « телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока». Возможны следующие предположение (гипотезы) о поставщике поступившего в торговую фирму телевизора.

H₁= «телевизор поступил от первого поставщика» ;

H₂= «телевизор поступил от второго поставщика» ;

H₃= «телевизор поступил от третьего поставщика» .

По условию Р(H₁)=0.1; Р(H₂)=0.4; Р(H₃)=0.5

Условные вероятности того, что телевизор не потребует ремонта, если он поступил от поставщика: Р(А/H₁)=0.7; Р(А/H₂)=0.49; Р(А/H₃)=0.8

По формуле полной вероятности : Р(А)= Р(H₁) Р(А/H₁)+ Р(H₂) Р(А/H₂)+ Р(H₃) Р(А/H₃)=

0,1*0,7+0,4*0,9+0,5*0,8=0,83.

2) найдем вероятности того, что телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока от первого, второго и третьего поставщиков.

По формуле Байеса:

Таким образом, наивероятнейшей будет гипотеза о том, что телевизор потупил от третьего поставщика.

Формула Бернулли.

В семье 5 детей. Найти вероятности того, что среди этих детей:

1. 4 мальчика;

2. не менее четырех мальчиков;

3. менее четырех мальчиков.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51.

1). Вероятность рождения мальчика равна 0,51 , значит вероятность рождения девочки равна 0,49.

Используем формулу Бернулли

2)

3)