7. Нескінчені десяткові періодичні дроби

– не можна записати скінченим десятковим дробом.

– 0,857114285714 нескінчений періодичний дріб.

Група цифр, які повторюються після коми в десятковому записі числа називається періодом, а нескінчений десятковий дріб, який має період у своєму записі називається періодичним.

Теорема. Якщо нескоротний дріб – не перетворюється у скінченний десятковий, то його можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу (такий десятковий запис дробу, у якому, починаючи з деякого місця, одна і та сама цифра або су­купність цифр без кінця повторюються в певному порядку).

Сукупність цифр, які повторюються, називається періодом. У пе­ріоді буде не більше ніж п – 1 цифра. Наприклад,

Розрізняють чисті і мішані періодичні десяткові дроби.

Чистим періодичним десятковим дробом називається періодичний десятковий дріб, у якого період починається безпосеред­ньо після коми: 0,333..., 0,232323...

Мішаним періодичним десятковим дробом називається періодичний десятковий дріб, у якого період починається не відразу після коми: 0,08333..., 17,12777... При цьому число, що стоїть між комою і початком періоду, називається доперіодичною частиною.

Періодичні десяткові дроби записують компактніше, беручи пе­ріод у дужки:

0,232323…= 0,(23) – нуль цілих і 23 в періоді;

0,08333… = 0,08(3) – нуль цілих, нуль вісім до періоду і 3 в періоді.

Як записати нескінченний десятковий періодичний дріб у вигляді звичайного?

Чистий періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельник якого є число, що стоїть у періоді, а знаменник число, записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади. 1) 2)

Мішаний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельником якого є різниця між числом, що стоїть до періоду і в періоді, і числом, що стоїть до періоду, а знаменником – число, записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді, і з стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади. 1.

Перевірка.

2.

3. 0,8(61) = .

Отже, розрізняють чисті і мішані періодичні десяткові дроби. Нескінченні десяткові періодичні дроби можна подати у вигляді звичайного і навпаки.

Питання для узагальнення

• Який дріб називається нескінченним десятковим періодичним дробом?

• Який дріб називається чистим періодичним десятковим дробом?

• Який дріб називається мішаним періодичним десятковим дробом?

• Якому звичайному дробові дорівнює чистий періодичний десятковий дріб?

• Якому звичайному дробові дорівнює мішаний періодичний десятковий дріб?

3. Заключна частина

Загальний висновок

Символ , де т і п натуральні числа, називають дробом, т – чисельник дробу і п – знаменник. Число під рискою означає, на скільки рівних частин поділено ціле, його називають знаменником дробу. Число над рискою означає, скільки взято рівних частин. Це число називають чисельником дробу.

Основна властивість дробу: чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й теж саме натуральне число, то одержимо дріб, рівний даному.

Скорочення дробів – це заміна даного дробу іншим, рівним даному, але з меншим чисельником і знаменником.

Зведення дробів до спільного знаменника – це заміна дробів рівними їм дробами, які мають однакові знаменники.

Над дробами можна виконувати такі ж арифметичні дії, як і над натуральними числами: додавати, віднімати, множити і ділити.

Запитання для узагальнення студентам

• Що називається дробом?

• Яка основна властивість дробу?

• Що називають множиною додатних раціональних чисел?

• Який дріб називається правильним?

• Який дріб називається неправильним?

• У чому полягає застосування основної властивості дробу?

• В чому полягає упорядкованість множини додатних раціональних чисел?

• Який дріб називається десятковим?

• В чому полягає основна властивість десяткового дробу?

• Як подати звичайний дріб у вигляді десяткового?

• Який дріб називається нескінченним десятковим періодичним дробом?

• Який дріб називається чистим періодичним десятковим дробом?

• Який дріб називається мішаним періодичним десятковим дробом?

• Якому звичайному дробові дорівнює чистий періодичний десятковий дріб?

• Якому звичайному дробові дорівнює мішаний періодичний десятковий дріб?

• Що таке процент (відсоток)?

Повідомлення домашнього завдання