2. Поняття про вимірювання відрізків. Розширення множини цілих невід’ємних чисел

Порівняння двох відрізків і дії над ними не завжди можна виконувати безпосередньо. Наприклад, один відрізок прямої з’єднує Москву і Київ, а другий Одесу і Мінськ. Як можна порівняти ці відрізки між собою? Як знайти їх суму, різницю?

Для цього потрібно виміряти ці відрізки, тобто знайти довжину кожного з них або відстань між їх кінцями.

Виміряти якусь величину – це означає порівняти її з іншою величиною такого ж роду, прийнятою за одиницю виміру.

Вимірювання величин, зокрема таких, як довжина, площа, об’єм, маса, час, виникло з практичних потреб людини в давні часи.

Для того, щоб уявити собі процес вимірювання, виберемо будь-який відрізок за одиничний, а за одиницю виміру довжини візьмемо довжину е цього відрізка. Тоді, щоб виміряти відрізок а, більший за одиничний, послідовно відкладатимемо одиничний відрізок на відрізку а (від його початку). Може бути два випадки:

1) одиничний відрізок вкладається в а всього n разів, де n – натуральне число. Тоді число n називають мірою відрізка а при оди­ниці виміру е і записують: а = nе.

2) одиничний відрізок е не вкладається ціле число разів у відріз­ку а, тобто не існує такого натурального числа n, щоб а = ne.

При цьому може трапитись, що, поділивши одиничний відрізок на п рівних частин, дістанемо нову одиницю виміру е₁ = , яка вкладається у відрізку а ціле число разів, наприклад т разів, тобто а = т ·е₁ = т ·

Отже, цілком зрозуміло, що і при вимірюванні дрібнішими одиницями довжина не кожного відрізка виражатиметься натуральним числом. Звідси видно, що вимірювання довжин відрізків разом із діленням відрізка (або натурального числа, що є кількісною характеристикою певної скінченної множини) на рівні частини приводить до необхід­ності розширення множини цілих невід’ємних чисел введенням дро­бових чисел.

Питання для узагальнення

• У чому полягає необхідність розширення множини цілих невід’ємних чисел?

3. Дроби та їх властивості

Додатне раціональне число – це множина рівних дробів, а кожен дріб, який належить цій множині, є записом цього числа.

Н.: – різні записи одного і того ж додатного раціонального числа.

Додатне раціональне число – це число, яке можна подати у вигляді дробу , де .

Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескорочений дріб, який є записом цього числа.

Означення. Символ , де т і п натуральні числа, називають дробом, т – чисельник дробу і п – знаменник.

Дріб означає, що одна п-на частина одиниці виміру е міститься т разів у відрізку а, тобто одиничний відрізок розділили на п рівних частин і взяти т таких частин. Це записується так: а =  е,

Дріб є мірою довжини відрізка а при одиниці довжини е.

Повернемось до випадку 2) а = е, це не єдиний розв’язок, бо якщо поділимо е на 6 рівних частин, то отримаємо а = е і т.д.

Тобто, довжина відрізка а може бути виражена нескінченною множиною дробів: , , , …

Означення. Дроби, які виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини е, називаються рівними.

Якщо дроби і рівні, то записують = .

Необхідна і достатня умова рівності дробів

Два дроби і рівні тоді і тільки тоді, коли виконується умова mq=np, тобто = mq=np

Доведення.

а) Доведемо, що = mq=np

Для будь-якого натурального числа q = , а для будь-якого натурального числа п = . Тоді з рівності дробів і випливає = . Оскільки знаменники цих дробів рівні, то і чисельники їх будуть рівні: mq=np.

б) Доведемо тепер, навпаки, що mq=np = . Розділимо обидві частини mq=np на натуральне число nq, тоді отримаємо . Але , . Тоді, = .

Рівні дроби вважають різними записами одного і того ж числа, а саме число називають додатним раціональним числом.

Дріб – це лише форма зображення числа. Дробове число можна зобразити (записати) різними дробами:

Дроби , … зображають зовсім інші числа: і ін.

Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що є записом цього числа.

Множина додатних раціональних чисел – це множина натуральних чисел в об’єднанні з множиною дробових чисел. Множину додатних раціональних чисел позначають Q₊. Множина натуральних чисел є підмножиною множини додатних чисел, тобто N Q₊.

Дріб, чисельник якого менший від знаменника, називається правильним; дріб, чисельник якого більший або дорівнює знаменнику, називається неправильним. Наприклад, – правильні; – неправильні дроби.

Дріб , чисельник і знаменник якого є числа взаємно прості, тобто D(т;п)=1, називається нескоротним дробом.

Основна властивість дробу: Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме натуральне число, то дістанемо дріб, що дорівнює даному: , де k – натуральне число.

Застосування основної властивості дробу:

• скорочення дробів (заміна даного дробу іншим, що дорівнює йому, але з меншим чисельником і знаменником);

• зведення дробів до спільного знаменника (це заміна дробів рівними їм дробами, що мають однакові знаменники).

Наприклад.

1. Скоротити дріб .

1-ий спосіб: чисельник і знаменник дробу ділити послідовно на спільні прості дільники: , (2; 9) = 1

2-ий спосіб: знайти НСД чисельника і знаменника та поділити чисельник і знаменник відразу на їх НСД.

НСД (18; 81) = = 9

, (2; 9) = 1.

2. Звести до найменшого спільного знаменника дроби:

а)

Знаменники цих дробів попарно взаємно прості.

Тому НСК (3; 7; 10; 11) = =3 · 7 · 10 · 11 = 2310

Тоді

б)

64:8 і 64:32, тому НСК (8; 32; 64) = 64.

Тоді

в)

Маємо скоротні дроби, перед зведенням їх до найменшого спільного знаменника потрібно ці дроби скоротити.

Скоротимо ці дроби:

НСК (5; 6; 30) = 30

Отже,

г) і

15 = 3 · 5, 35 = 5 · 7

НСК (15; 35) = 3 · 5 · 7 = 105.

Тоді

Побудувати відрізок, довжина якого виражена числом

Побудова:

1) обираємо одиницю довжини е

2) ділимо відрізок е на 4 рівні частини

3) відкладаємо на промені Ох 13 відрізків, кожний з яких дорівнює четвертій частині відрізка е.

Отримаємо відрізок ОА, довжина якого виражена числом

Поняття дробу вводять в початкових класах. За програмою з математики в 2 класі передбачено ознайомлення з частинами числа: половиною, третиною, чвертю, п’ятою частиною. В 3 класі учні розуміють сутність поняття частина числа; знаходять половину, третину, четверту на інші частини від числа, число за його частиною. В 4 класі розділ «Дроби». Тут за одиницю беруть відрізок, круг, прямокутник, зокрема квадрат, смужки та ін. Наприклад, круг ділять на 8 рівних частин і виділяють частину круга, Вводять поняття чисельника і знаменника дробу: число під рискою означає, на скільки рівних частин поділено ціле, його називають знаменником дробу. Число над рискою означає, скільки взято рівних частин. Це число називають чисельником дробу.

Учні записують і читають дроби; знаходять дріб від числа та число за його дробом; порівнюють дроби з однаковими знаменниками.

Отже, символ , де т і п натуральні числа, називають дробом, т – чисельник дробу і п – знаменник.

Основна властивість дробу. Чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й теж саме натуральне число, то одержимо дріб, рівний даному.

Скорочення дробів – це заміна даного дробу іншим, рівним даному, але з меншим чисельником і знаменником.

Зведення дробів до спільного знаменника – це заміна дробів рівними їм дробами, які мають однакові знаменники.

Питання для узагальнення

• Що називається дробом?

• Яка основна властивість дробу?

• Що називають множиною додатних раціональних чисел?

• Який дріб називається правильним?

• Який дріб називається неправильним?

• У чому полягає застосування основної властивості дробу?

• Розкрийте вивчення поняття дробу в початковій школі.