2.2. Критерий Гурвица – компромиссный способ принятия решений

Этот способ принятия решения представляет собой компромисс между осторожным правилом максимина (Вальда) и оптимистичным правилом максимакса. ЛПР задает уровень пессимизма р (вероятность худшего исхода), тогда оптимистичному исходу дается вероятность 1–р, и выбирается альтернатива, дающая наибольший средневзвешенный доход при наличии только пессимистического и оптимистического исходов с заданными вероятностями.

Так, в нашем примере, худший исход – спрос на одно пирожное в день (2.1.2), лучший – пять пирожных (2.1.1). Зададим уровень пессимизма 0.4, тем самым мы предполагаем, что на каждые 4 дня худшего спроса в одно пирожное приходится 6 дней лучшего спроса в 5 пирожных. Рассчитаем средневзвешенные доходы для каждой альтернативы (табл. 5).

Критерий Гурвица Таблица 5

Объем производства	Доход при спросе в день		Вероятность исхода		Средневзвешенный доход
	1	5	0.4	0.6
1	6	6	2.4	+3.6	=6
2	2	12	0.8	+7.2	=8
3	–2	18	–0.8	+10.8	=10
4	–6	24	–2.4	+14.4	=12
5	–10	30	–4.0	+18.0	=14

В данном случае максимальный средневзвешенный доход имеет решение выпускать пять пирожных в день.

2.3. Правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов

Пусть теперь нам известны вероятности всех исходов.

Например, дана статистика продаж за последние 50 дней (табл. 6).

Относительные частоты (вероятности) дневного спроса на пирожные Таблица 6

Продано пирожных в день	1	2	3	4	5
Частота	5	10	15	15	5
Относительная частота (вероятность)	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

2.3.1. Правило максимальной вероятности – максимизация наиболее вероятных доходов. Наибольшая вероятность 0.3 соответствует спросу в три и четыре пирожных в день. Рассмотрим теперь доходы при каждом из этих исходов и выберем альтернативу, дающую наибольший доход (см. табл. 3). При спросе в 3 пирожных наибольший доход дает альтернатива производить 3 пирожных (доход составляет 18 руб.), при спросе в 4 пирожных наибольший доход дает альтернатива производить 4 пирожных (доход составляет 24 руб.), следовательно, по этому правилу надо производить 4 пирожных в день.

2.3.2. Оптимизация математического ожидания. Выбирается решение либо с наибольшим ожидаемым доходом, либо с наименьшими возможными потерями. Использование критерия математического ожидания наиболее приемлемо в случаях многократного принятия решения в одинаковых условиях, позволяя максимизировать среднюю прибыль (или минимизировать средние убытки) при большом временном промежутке. В соответствии с законом больших чисел (который мы проходили в разделе 3 «Математики») при многократном принятии решения мы как раз и получим математическое ожидание (среднее значение) дохода либо потерь.

а) Максимизация ожидаемого дохода.

Составим таблицу ожидаемых доходов для каждой альтернативы (табл.7).

Возможный доход (вероятность × доход из табл. 3) Таблица 7

Объем производства	Возможные исходы: спрос пирожных в день					Ожидаемый доход
	1	2	3	4	5
1	0.6	1.2	1.8	1.8	0.6	6
2	0.2	2.4	3.6	3.6	1.2	11
3	–0.2	1.6	5.4	5.4	1.8	14
4	–0.6	0.8	4.2	7.2	2.4	14
5	–1.0	0.0	3.0	6.0	3.0	11

Максимальное значение ожидаемого дохода 14 руб. в день, следовательно, используя критерий максимизации ожидаемого дохода необходимо производить три или четыре пирожных в день.

б) Минимизация возможных потерь.

Составим таблицу возможных потерь для каждой альтернативы (табл.8).

Минимальные ожидаемые возможные потери равны 4.6 руб. в день, т.е. наилучшее решение – также как и в случае а, производить три или четыре пирожных в день.

Возможные потери (вероятность ∙ потери из табл. 4) Таблица 8

Объем производства	Возможные потери: спрос пирожных в день					Ожидаемые возможные потери
	1	2	3	4	5
1	0	1.2	3.6	5.4	2.4	12.6
2	0.4	0	1.8	3.6	1.8	7.6
3	0.8	0.8	0	1.8	1.2	4.6
4	1.2	1.6	1.2	0	0.6	4.6
5	1.6	2.4	2.4	1.2	0	7.6

Значения вероятностей из табл.6 основаны на статистической либо экспертной информации, которая подвержена изменениям. Исследование зависимости выбора решения от изменений значений вероятностей называется анализом чувствительности решения (табл. 9).

Зависимость выбора решения от изменений значений вероятностей Таблица 9

Наименование показателей	Возможные решения: объем производства в день
	1	2	3	4	5
Базовые вероятности	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1
Ожидаемый доход в день	6	11	14	14	11
Альтернативные вероятности (1)	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
Ожидаемый доход в день (1)	6	10	12	12	10
Альтернативные вероятности (2)	0.1	0.2	0.2	0.2	0.3
Ожидаемый доход в день (2)	6	11	14	15	14

В альтернативном варианте (1) решение, дающее максимальный доход, не претерпело изменений, хотя средняя прибыль снизилась с 14 руб. до 12 руб. В альтернативном варианте (2) решение изменилось, наибольший средний доход 15 руб. дает альтернатива производить 4 пирожных в день. Таким образом, выбор решения оказался нечувствителен к варианту (1) изменений вероятностей, но чувствителен к варианту (2).