4.2. Оптимальность по Парето

Проиллюстрируем прием выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями: F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество Х состоит из конечного числа n возможных решений х₁, х₂,…, х_n. Каждому решению соответствуют определенные значения показателей F₁, F₂; будем изображать решение точкой на плоскости с координатами F₁, F₂ и занумеруем точки соответственно номеру решения (рис. 8).

F ₂ .2

.1 .4 .5

.7 .3 .8 .9

.6 .10

.17 .16 .15 .14 .12

.18 .19 .11

.20 F₁

Рис. 8. Оптимальность по Парето.

Очевидно, из всего множества Х эффективными (доминирующими) будут только решения х₂, х₅, х₁₀, х₁₁, лежащие на правой верхней границе области возможных решений (см. точки, соединенные пунктиром), причем х₁₁ – наилучшее по критерию F₁, х₂ – по критерию F₂. Дело лица, принимающего решение, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и «приемлем» по обоим критериям.

Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда показателей не два, а больше (при этом геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется).

Рассмотрим макроэкономическую модель Финляндии, построенную в 70-х годах. Качество решений оценивалось по четырем критериям:

С_! – увеличение валового национального продукта (в %);

С₂ – уменьшение инфляции (в %);

С₃ – уменьшение безработицы (в %);

С₄ – уменьшение дефицита внешней торговли (млрд. фин. марок).

В табл.13 приведены три различных варианта экономической политики.

Значения критериев вариантов экономической политики Таблица 13

Вариант решения	С!	С2	С3	С4
1	– 2,74	8,16	3,28	2,24
2	0,57	9,00	2,81	5,27
3	1,81	8,88	2,64	6,54
Наилучшие решения	7,18	8,16	1,88	1,21

В нижней строке табл.13 приведены наилучшие значения каждого из критериев, которые можно получить, если оптимизировать по одному критерию, не обращая внимания на другие. Наилучшие значения по всем критериям одновременно не достижимы. Легко видеть, что приведенные альтернативы являются точками множества Парето в четырехмерном пространстве критериев. Действительно, первый вариант дает наименьшее значение инфляции и дефицита внешней торговли, но отрицательный прирост ВНП и большую безработицу. Третий вариант лучший по росту ВНД и уровню безработицы, но худший по дефициту внешней торговли. Эти противоречия отражают типичный характер вариантов многокритериальных решений.

Множество эффективных решений легче обозримо, чем множество Х. Что касается окончательного выбора решения, то он по-прежнему остается прерогативой человека. Только человек, с его непревзойденным умением решать неформальные задачи, принимать компромиссные решения (не строго-оптимальные, но приемлемые по ряду критериев) может взять на себя ответственность за окончательный выбор.

Однако сама процедура выбора решения, будучи повторена неоднократно, может послужить основой для выработки некоторых формальных правил, применяемых уже без участия человека. Речь идет о так называемых «эвристических» методах выбора решений. Предположим, что опытный менеджер (или, еще лучше, их группа) многократно выбирает компромиссное решение в многокритериальной задаче исследования операций, решаемой при разных условиях . Набирая статистику по результатам выбора, можно, например, разумным образом подобрать значения «весов» а₁, а₂,… в формуле (1), в общем случае зависящие от условий  и самих показателей F₁, F₂,…, и воспользоваться таким обобщенным критерием для выбора решения, на этот раз уже автоматического, без участия человека. На это иногда приходится идти в случаях, когда времени на обдумывание компромиссного решения нет (например, в условиях боевых действий), или же в случае, когда выбор решения передается автоматизированной системе управления.

В некоторых случаях очень полезной оказывается процедура выбора решения в диалоговом (или интерактивном) режиме, когда компьютер, произведя расчеты, выдает лицу, управляющему операцией, значения показателей F₁, F₂,…, а это лицо, критически оценив ситуацию, вносит изменения в весовые коэффициенты (или иные параметры управляющего алгоритма) и расчеты повторяются.

Часто применяется на практике способ свести многокритериальную задачу к однокритериальной – это выделить один (главный) показатель F₁ и стремиться его обратить в максимум, а на все остальные F₂, F₃,… наложить только некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше каких-то заданных f₂, f₃,… Например, при оптимизации плана работы предприятия можно потребовать, чтобы прибыль была максимальной, план по ассортименту – выполнен или перевыполнен, а себестоимость продукции – не выше заданной. При таком подходе все показатели, кроме одного – главного (прибыль), переводятся в разряд заданных условий . Некоторый произвол в назначении границ f₂, f₃,…, разумеется, при этом остается; поправки в эти границы тоже могут быть введены в диалоговом режиме.

Существует еще один путь построения компромиссного решения, который можно назвать методом последовательных уступок. Предположим, что показатели F₁, F₂,… расположены в порядке убывающей важности. Сначала ищется решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель F₁ = F₁*. Затем назначается, исходя из практических соображений, с учетом той точности, с которой нам известны входные данные, некоторая «уступка» F₁, которую мы согласны сделать для того, чтобы максимизировать второй показатель F₂. Наложим на показатель F₁ ограничение: он должен быть не меньше, чем F₁* – F₁, и при этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум F₂. Далее снова назначаем «уступку» F₂, ценой которой можно максимизировать F₃, и т.д. Такой способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой «уступки» в одном показателе приобретается выигрыш в другом и какова цена этого выигрыша.

Так или иначе, при любом способе ее постановки, задача обоснования решения по нескольким показателям остается не до конца формализованной, и окончательный выбор решения всегда определяется волевым актом лица, принимающего решения (ЛПР). Дело исследователя – предоставить в распоряжение ЛПР данные, помогающие ему сделать выбор не «вслепую», а с учетом преимуществ и недостатков каждого варианта решения.

Пример 6. Выбор месторасположения нового объекта с учетом факторов риска

В России газопровод является существенным, а нередко и определяющим элементом газотранспортного комплекса, предназначенного для крупномасштабных поставок газа. По этой причине целесообразно остановиться на вопросах, связанных с рациональным выбором трассы газопровода. При выборе трассы магистрального газопровода на огромном пространстве необходимо учитывать многочисленные факторы: различные природные и социально-экономические условия, влияние на местное население, согласование с большим кругом землепользователей и административных организаций.

При создании магистрального газопровода требуется охранная зона шириной по 250–350 м от оси газопровода, регламентирующая минимальное расстояние от газопровода до жилых зданий, автодорог, сельскохозяйственных построек и других сооружений, что при протяженности трассы порядка 1 тыс. километров составляет 50–70 тыс. гектаров. Следовательно, можно сказать, что для строительства трассы магистрального газопровода необходимо иметь площадку огромных размеров, выбор которой представляет собой достаточно серьезную проблему.

Конкретная задача: альтернативы

В рассматриваемой практической задаче выбирается вариант трассы газопровода в Грузии, предназначенного для подачи газа коммунально-бытовым и промышленным потребителям. На этом примере рассмотрим основные факторы, которые следует учитывать при выборе, и опишем процедуру выбора.

На предварительной стадии изучения (камеральная проработка, полевое обследование, предварительное согласование) были отработаны три варианта генерального направления трассы: приморский, срединный и предгорный. При этом, помимо трассы основного газопровода, учитывались трассы перспективных газопроводов-отводов к населенным пунктам и другим потребителям.

Активные группы

В процессе выбора трассы газопровода принимали участие четыре активные группы. Прежде всего, заказчик – организация, определяющая задание на проектирование и осуществляющая эксплуатацию газопровода. Далее – организация, проектирующая газопровод. Любой проект согласовывается с региональными властями, которые представляют интересы населения, проживающего в данной местности. И, наконец, на выбор трассы оказывает влияние подрядчик по строительству, осуществляющий сооружение газопровода.

Критерии

После того как основные варианты трассы газопровода были намечены, появилась возможность их сопоставления на основе приведенных далее критериев.

Затраты

Прежде всего, альтернативы сравнивались по критерию приведенных затрат (П). Далее использовались еще два стоимостных критерия: капитальные затраты на основную трассу газопровода (Сі) и на строительство отводов от него (Сг). Кроме того, использовались:

срок строительства (Т),

удобство эксплуатации (Э),

надежность эксплуатации (Н) (вероятность аварий),

влияние на окружающую среду (В),

связь с региональными планами развития (Р),

условия строительства (У),

безопасность населения (Б).

Особенности задачи выбора с точки зрения теории принятия решений

Представленную выше задачу сравнения трасс газопровода можно характеризовать как задачу выбора лучшей альтернативы из трех при наличии оценок по восьми критериям.

Предварительные оценки альтернатив (кроме стоимости) даны в качественном виде. Такое описание характерно для различных методов принятия решений. Однако во многих методах от этого качественного описания делается переход к количественному – к числам. В данном случае такой переход был невозможен. Эксперты использовали содержательный язык при оценке вариантов и не хотели использовать балльные оценки. Абсолютные балльные оценки были сложны, так как отсутствовали точки отсчета. Кроме того, в процедуре выбора принимают участие активные группы. Качественный язык описания достоинств и недостатков каждого из вариантов был ясен и понятен для представителей всех активных групп. Следовательно, было необходимо провести анализ трех вариантов и выбор наилучшего, используя качественные критерии с относительными (а не абсолютными) шкалами.

Внимание к проблемам риска обусловило включение в перечень таких критериев, как «надежность эксплуатации» (вероятность аварий) и «безопасность населения».

Анализ вариантов

В табл. 14 представлены оценки трех вариантов трассы газопровода. Из таблицы видно, что предгорный вариант можно исключить из рассмотрения, так как он уступает двум другим. Приморский и срединный вариант имеют противоречивые оценки по ряду критериев.

Табл. 14 позволяет также уточнить позиции активных групп. При сравнении вариантов трассы каждая активная группа руководствуется в первую очередь определенным подмножеством из приведенного выше множества критериев. Так, проектная организация в первую очередь обращает внимание на критерии П, Сі, Сг, В, Б, Н. Региональные власти в первую очередь руководствуются критериями Р, В, Б, Н, Сг. Естественно, что заказчик в первую очередь учитывает оценки по критериям Т, У.

Анализ проблемы выбора трассы газопровода Таблица 14

Критерий	Обозначение	Оценки вариантов по критериям
		Приморский	Срединный	Предгорный
Приведенные затраты, млн руб.	П	8,9	8,5	10,8
Стоимость прокладки основной трассы, млн руб.	Сі	31	34	46
Стоимость прокладки перспективных газопроводов к потребителям, млн руб.	Сг	9,5	5	5
Минимальный срок строительства	Т	Лучший	Лучший	Худший
Удобство эксплуатации	Э	Худший	Лучший	Намного худший
Надежность эксплуатации	Н	Худший	Лучший	Худший
Влияние на окружающую среду	В	Лучший	Лучший	Намного худший
Связь с региональными планами развития	Р	Худший	Лучший	Худший
Условия строительства	У	Худший	Лучший	Намного худший
Безопасность населения	Б	Лучший	Лучший	Худший

Процедуры выбора состояли в следующем. Проектная организация осуществляет анализ, связанный с прокладкой возможных трасс газопровода. После первоначальной наметки основных вариантов по каждому из них оценка стоимости осуществляется по критерию приведенных затрат. Далее проектная организация предварительно выбирает вариант и передает предложение с информацией обо всех вариантах заказчику, а затем – на согласование региональным властям. В обсуждении принимают участие также представители подрядчика.

Конструирование нового варианта

В приведенном примере по выбору трассы проектная организация отдала предпочтение приморскому варианту, заказчик и подрядчик – срединному варианту. При рассмотрении вариантов региональными властями возникла необходимость сопоставления намного лучших оценок срединного варианта по критериям Сг, Р и Н с лучшими оценками приморского варианта по критериям В и Б. При проведении анализа региональные власти обратились к заказчику и проектной организации с просьбой попытаться найти новые технические решения, которые могли бы улучшить оценки срединного варианта по критериям В и Б, приблизив их к оценкам приморского варианта. В поисках такого решения проектная организация обосновала возможность сокращения охранной зоны при соответствующем повышении надежности путем увеличения толщины стенки газопровода. Оказалось, что при таком техническом решении существенно уменьшается количество сносимых усадеб, и стоимость срединного и приморского вариантов по критерию приведенных затрат становится близкой, несмотря на некоторое увеличение металлоемкости и стоимости трубопровода.

С учетом нового технического решения все участники процесса выбора оценили срединный вариант как наиболее приемлемый. Этот вариант и был выбран.

Приведенный пример является типичным для принятия решений при многих критериях и нескольких активных группах. Активные группы руководствуются в первую очередь своим подмножеством критериев. При оценке альтернатив каждый участник процесса выбора применяет свои критерии последовательно от более важных к менее важным. Отметим, что ни один из рассматриваемых вариантов не является обычно доминирующим по всем критериям. Следовательно, всегда необходим поиск компромисса. Характерной чертой реального процесса сравнения вариантов являются попытки пересмотра вариантов, попытки улучшить оценки ряда вариантов по некоторым критериям путем поиска новых решений.