Тема 4. Многокритериальные решения

Математические методы, описанные выше, преимущественно ориентированны на решение задач организационно-экономического содержания, в которых может быть обоснован и выбран один единственный критерий оптимизации. Спектр подобных задач достаточно широк. Наиболее адекватной областью их применения являются текущие задачи внутрифирменного управления. Однако при анализе крупномасштабных проблем, таких как задачи стратегического планирования развития фирм, задачи отраслевого, регионального уровня и т.п., затрагивающих разнообразные интересы участников планируемой операции, возникает необходимость оценки вариантов решений по нескольким критериям. Такого рода задачи называются многокритериальными, их и рассмотрим в данной теме.

Для успешного освоения темы после изучения теоретического материала следует ответить на вопросы для самоконтроля и выполнить задание по теме 4 Практикума.

Ключевые понятия темы:

Метод последовательных уступок, многокритериальная оптимизация, оптимальное управление, оптимальность по Парето, точка утопии, целевая функция.

1. Понятие многокритериальности

Существует множество примеров многокритериальных задач, но относительно обстоятельное описание подобного примера займет много места именно в силу сложности существа многокритериальной задачи.

Поэтому ограничимся лишь схематической иллюстрацией. Например, необходимо разработать программу реорганизации некоторого промышленного предприятия в целях повышения эффективности его деятельности. На словах формулировка цели реорганизации звучит весьма привлекательно, но это всего лишь лозунг – призыв к «светлому будущему». А что конкретно имеется в виду под эффективностью в данном случае? Под углом зрения какого критерия надо выбирать решение? С одной стороны, нам хотелось бы обратить в максимум валовой объем продукции V. Желательно также было бы получить максимальный чистый доход D. Что касается себестоимости S, то ее хотелось бы обратить в минимум, а производительность труда П – в максимум. При обдумывании задачи может возникнуть еще ряд дополнительных критериев.

Такая множественность показателей эффективности (ряда количественных показателей F₁, F₂,…, из которых одни желательно обратить в максимум, а другие в минимум), называемая многокритериальностью, характерна для многих крупномасштабных задач исследования операций.

Спрашивается, можно ли найти решение, одновременно удовлетворяющее всем этим требованиям? Со всей откровенностью ответим: в общем случае нет. Решение, обращающее в максимум один какой-то показатель, как правило, не обращает ни в максимум, ни в минимум другие. Поэтому, как уже отмечалось ранее, часто применяемая формулировка: «достигнуть максимального эффекта при минимальных затратах» представляет собой не более чем фразу и при научном анализе должна быть отброшена.

Как же быть в случае, если все же приходится оценивать эффективность операции по нескольким показателям?

Люди, малоискушенные в исследовании операций, обычно торопятся свести многокритериальную задачу к однокритериальной: составляют некоторую комбинированную функцию от всех показателей и рассматривают ее как один, «обобщенный» показатель эффективности, по которому и оптимизируется решение. Часто такой обобщенный показатель имеет вид дроби, в числителе которой стоят все величины, увеличение которых желательно, а в знаменателе – те, увеличение которых нежелательно. Например, продуктивность и доход – в числителе, время выполнения и расходы – в знаменателе и т.п.

Такой способ объединения нескольких показателей в один не может быть рекомендован, и вот почему: он основан на неявном допущении, что недостаток в одном показателе всегда может быть скомпенсирован за счет другого; например, малая продуктивность – за счет низкой стоимости и т.д. Это, как правило, несправедливо.

Вспомним «критерий для оценки человека», полушутя полусерьезно предложенный когда-то Львом Толстым. Он имеет вид дроби, в числителе которой стоят действительные достоинства человека, а в знаменателе – его мнение о себе. С первого взгляда такой подход может показаться логичным. Но представим себе человека, имеющего незначительные достоинства, но совсем не обладающего самомнением. По критерию Л.И. Толстого такой человек должен иметь бесконечно большую ценность, с чем уж никак согласиться нельзя…

К подобным парадоксальным выводам может привести (и нередко приводит) использование обобщенного показателя в виде дроби, где, как говорят, все, что «за здравие», – в числителе, все, что «за упокой», – в знаменателе.

Нередко применяется и другой, чуть более замысловатый, способ составления обобщенного показателя эффективности – он представляет собой «взвешенную сумму» частных показателей, в которую каждый из них F_i входит с некоторым «весом» а_i, отражающим его важность:

F = а₁F₁ + а₂F₂ +… (1)

(для тех показателей, которые желательно увеличить, веса берутся положительными, уменьшить – отрицательными).

При произвольном назначении весов а₁, а₂,… этот способ ничем не лучше предыдущего (разве тем, что обобщенный критерий не обращается в бесконечность). Его сторонники ссылаются на то, что и человек, принимая компромиссное решение, тоже мысленно взвешивает все «за» и «против», приписывая больший вес более важным для него факторам. Это, быть может, и так, но, по-видимому, «весовые коэффициенты», с которыми входят в расчет разные показатели, не постоянны, а меняются в зависимости от ситуации.

Поясним сказанное элементарным примером. Человек выходит из дому, чтобы ехать на работу, боится опоздать, и размышляет: каким транспортом воспользоваться? Трамвай ходит часто, но идет долго; автобус – быстрее, но с большими интервалами. Можно взять такси, но это дорого.

Перед нами типичная (намеренно упрощенная) задача исследования операций с двумя критериями (показателями). Первый – среднее ожидаемое время опоздания Т, которое хотелось бы сделать минимальным. Второй – ожидаемая стоимость проезда S; ее тоже желательно сделать минимальной. Но эти два требования, как мы знаем, несовместимы, поэтому человек должен принять компромиссное, приемлемое по обоим критериям, решение. Возможно, он при этом подсознательно взвешивает все «за» и «против», пользуясь чем-то вроде обобщенного показателя:

F = а₁Т + а₂S  min. (2)

Но беда в том, что весовые коэффициенты а₁, а₂ никак нельзя считать постоянными. Они зависят как от самих величин Т и S, так и от обстановки. Например, если человек недавно уже получил выговор за опоздание, коэффициент при Т у него, вероятно, увеличится, а на другой день после получки, вероятно, уменьшится коэффициент при S. Если же назначать (как это обычно и делается) веса а₁, а₂ произвольно, то, по существу, столь же произвольным будет и вытекающее из них «оптимальное» решение.

Здесь мы встречаемся с очень типичным для подобных ситуаций приемом – «переносом произвола из одной инстанции в другую». Простой выбор компромиссного решения на основе мысленного сопоставления всех «за» и «против» каждого решения кажется слишком произвольным, недостаточно «научным». А вот маневрирование с формулой, включающей (пусть столь же произвольно назначенные) коэффициенты а₁, а₂,…, – совсем другое дело. Это уже «наука»! По существу же никакой науки тут нет, и нечего обманывать самих себя.

Нечего надеяться полностью избавиться от субъективности в задачах, связанных с выбором решений. Даже в простейших, однокритериальных задачах она неизбежно присутствует, проявляясь хотя бы в выборе показателя эффективности и математической модели явления. Тем более неизбежна субъективность (грубо говоря, произвол) при выборе решения в многокритериальной задаче. Правда, бывают редкие случаи, когда достаточно ознакомиться со значениями всех показателей для каждого варианта, чтобы сразу стало ясно, какой из них выбрать. Представим себе, например, что некий вариант решения имеет преимущество над другими по всем показателям; ясно, что именно его следует предпочесть. Но гораздо чаще встречаются случаи, когда ситуация неочевидна: один из показателей тянет в одну сторону, другой – в другую. При этом всегда полезно провести дополнительные расчеты, пользуясь, быть может, даже формулами типа (1), но, не доверяя им слепо, а сохраняя к ним критическое отношение.

Выходит, что математический аппарат не может нам ничем помочь при решении многокритериальных задач? Отнюдь нет, он может помочь, и очень существенно. Прежде всего, он позволяет решать прямые задачи исследования операций, т.е. для любого решения х находить значения показателей эффективности F₁, F₂,…, сколько бы их не было (кстати, для прямых задач многокритериальность – не помеха. Под прямыми задачами Е.С.Вентцель[1] понимает задачи, которые отвечают на вопрос: что будет, если в заданных условиях принять некоторое решение хХ? Например, чему будет при этом равен показатель эффективности или их набор. Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение х, для которого показатель эффективности F достигнет экстремального значения). И во-вторых, что особенно важно, он помогает «выбраковать» из множества возможных решений Х заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям.

Покажем, как это делается. Пусть имеется многокритериальная задача исследования операций с k критериями F₁, F₂,…, F_k. Для простоты предположим, что все эти величины желательно максимизировать. Пусть в составе множества возможных решений есть два решения х₁, х₂ такие, что значения всех критериев F₁, F₂,…, F_k для первого решения больше или равны соответствующим критериям для второго решения, причем хотя бы один из них действительно больше. Тогда из состава множества Х решение х₂ вытесняется (говорят «доминируется») решением х₁. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо невыгодных решений во множестве Х сохраняются только эффективные («оптимальные по Парето» или «паретовские») решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения.