Экзаменационный билет № 35

1. Инструменты Интернет – рекламы, характеристики

1. баннеры;

2. серфинг сайтов(напр пирамиды или айфолдер);

3. всплывающие окна;

4. вирусный маркетинг — метод рекламы, где реклама распространяется в геометрической прогрессии, распространителями рекламы являются сами ее потребители. Например, сообщения в соц сетях «Перешли 10 своим друзьям».

2. Линейные пространства. Основные понятия линейных пространств. Линейные пространства в аналитической геометрии.

Пусть  множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

паре элементов множества  ,   отвечает элемент  , называемый суммой   и  ;

паре  ,   отвечает элемент  , называемый произведением числа   и элемента  .

Будем называть множество   линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов   и произвольных чисел   справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. , сложение ассоциативно;

3. существует единственный нулевой элемент   такой, что  ,   ;

4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент   такой, что  , 

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ,  ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1-8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространством,  а его элементы -векторами.

Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

Говорят, что элемент (вектор)   линейного пространства   линейно выражается через элементы (векторы)  , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде   .

Если любой вектор системы   векторов линейного пространства  линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая  не является линейно зависимой, называется  линейно независимой.

Справедливо следующее утверждение.

Система   векторов линейного пространства   линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства   следует равенство нулю всех  коэффициентов  .

Если в линейном пространстве   существует линейно независимая система из   векторов, а любая система из  -го вектора линейно зависима, то число   называется размерностью пространства   и обозначается  . В этом случае пространство   называют  -мерным линейным пространством или  -мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система   векторов   

линейного пространства   образует базис пространства и любой вектор   

единственным образом выражается через векторы базиса:  .

Числа   называют координатами вектора   в базисе   и обозначают  . При этом для любых двух произвольных векторов  -мерного линейного пространства  ,  и произвольного числа   справедливо:    и   .

Пусть   и   -- два базиса в  . Матрицей перехода от базиса   к базису   называется матрица  , столбцами которой являются координаты векторов   в базисе  :

 

...	...

     , 

Вектор   линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если  , то координаты  вектора   в базисе  , и его координаты  в базисе   связаны соотношениями

Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы

Пусть   - прямоугольная матрица размерности  :

Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из  :

,  ,  

и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость - это значит установить является система векторов линейно зависимой или нет.

Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторов   на линейную зависимость следующим образом.

Пусть   -- исследуемая система векторов. Запишем матрицу  , столбцами которой являются векторы  :  ,  , и вычислим ее ранг  . Если  , то исследуемая система векторов линейно независима, если же  , то она линейно зависима.

Более того, если матрица   приведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками

то векторы-столбцы   , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую подсистему, а векторы    следующим образом линейно выражаются через базисные векторы:

...

Геометрический смысл линейной зависимости.

Будем рассматривать геометричекие вектора на прямой, на плоскости и в пространстве. Выясним, что означает линейная зависимость геометрических векторов.

    

Утверждение 1. На прямой (на плоскости и в пространстве) существует нулевой вектор (соответственно два неколлиниарных и три некомпланарных вектора).

    

Доказательство. В случае прямой достаточно взять две несовпадающие точки О и А(рис. 1, а), тогда вектор а =   ≠ 0. На плоскости достаточно взять три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой (рис.1, б), тогда векторы а =   и b =   неколлиниарны. В пространстве достаточно взять четыре точки О, А, В, С, не лежащие в одной плоскости (рис. 1, в), тогда векторы а =  , b =  , с =   некомпланарны.

    

Утверждение 2. На прямой (на плоскости и в пространстве) всякий вектор линейно выражается через любой ненулевой вектор (соответственно любые два неколлиниарных и любые три некомпанарных вектора).

   

Доказательство.

1. Пусть a, b− векторы на прямой и a ≠ 0. Отложим их от одной точки О прямой. Пусть а = , b = (рис. 2, а). Если b = 0, то b = 0a. Если b ≠ 0, то, взяв

согласно определению произведения вектора на число получим, что b = αa.     

2. Пусть а, b, с − векторы плоскости и a, b неколлиниарны (значит, ни один из них не равен 0). Отложим эти векторы от одной точки О плоскости. Пусть а =  , b =  , с =   (рис. 2, б). Если с = 0, то с = 0а + 0b. Если с ≠ 0, то проведем из точки С прямые, параллельные прямым ОВ и ОА, до пересечения с прямыми ОА и ОВ соответственно. Пусть точки А₁, B₁ − точки пересечения этих прямых (существование точек пересечения следует из неколлиниарности   и  ). Тогда   =  ₁ +  ₁. Отсюда и из первой части утверждения получим, что c = αa + βb.     

3. Пусть a, b, c, d − векторы пространства и a, b, c некомпланарны (значит, попарно неколлиниарны и, тем более, ни один из них не равен 0). Отложим эти векторы от одной точки О. Пусть а =  , b =  , с =  , d =  (рис. 2, в). Если d = 0, то d = 0а + 0b + 0c. Если d ≠ 0, то проведем из точки D плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОАС, ОАВ (это плоскости, так как  ,  ,   попарно неколлиниарны), до пересечения с прямыми ОА, ОВ, ОС соответственно. Пусть А₁, B₁, C₁ −точки пересечения (существование точек пересечения следует из некомпланарности  ,  ,  ). Тогда   =  ₁ +  ₁ +  ₁. Осюда и из первой части утверждения получим, что d = αa + βb + γc. 

   

Теорема 2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллиниарны.

    

Доказательство. 

Необходимость. Пусть векторы a, b линейно зависимы, тогда в силу теоремы 2.2 один из них линейно выражается через другой. пусть b = αa. Отсюда и из определения произведения вектора на число следует коллиниарность a и b.    

Достаточность. Пусть a и b коллиниарны, т.е. параллельны одной прямой. Будем считать, что а ≠ 0 (так как если а = 0, то линейная зависимость а, b следует из теорем 2.1 и 2.3). Отложим а, b от одной точки. Тогда они окажутся на одной прямой, при этом, согласно утверждению 2, b = αa. В силу теремы 2.2 отсюда следует линейная зависимость a, b. 

    

Следствие 1. Любые два (значит, и более) вектора прямой линейно зависимы.

    

Теорема 3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

    

Доказательство. 

Необходимость. Пусть векторы a, b, c линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через другие. Пусть c = αa + βb. Усли а и b коллиниарны, то а, b, с коллиниарны и, тем более, компланарны. Если a и b неколлинеарны, то отложим векторы a, b, c от одной точки (рис. 2, б). Тогда вектор с, являясь диагональю параллелограмма, построенного на векторах αa и βb, окажется в той же плоскости, что и a, b. Значит, a, b, c компланарны.     

Достаточность. Пусть a, b, c компланарны, т.е. параллельны одной плоскости. Будем считать, что a, b неколлиниарны (так как если a, b коллиниарны, то линейная зависимость a, b, c следует из линейной зависимости подсистемы). Отложим a, b и с от одной точки. Тогда они окажутся в одной плоскости и на основании утверждения 2 будем иметь c = αa + βb. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c линейно зависимы.     

Следствие 2. Любые три (значит, и более) вектора плоскости линейно зависимы.

    

Теорема 2.9. Любые четыре вектора линейно зависимы.

    

Доказательство. Будем считать, что в четверке векторов a, b, c, d векторы a, b, c некомпланарны (так как если a, b, c компланарны, то линейная зависимость a, b, c, d вытекает из линейной зависимости подсистемы). Тогда на основании утверждения 2 будем иметь  d = αa + βb + γc. В силу теоремы 2.2 отсюда следует, что векторы a, b, c, d линейно зависимы. 

------------------------------------------------------------------------------------------