§ 10 Степенная функция с дробным показателем.

1. Рассмотрим функцию , являющуюся обратной к функции у=х³, следовательно ее график симметричен кубической параболе у=х³ относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Свойства:

1. D(y)=R;

2. E(y)=R;

3. у(-х)=-у(х) – функция нечетная;

4. (0;0) – нуль функции;

5. возрастает на всей области определения

6. максимумов, минимумов нет;

7. асимптот нет.

2. на промежутке [0; + ). На данном промежутке функция у=х² монотонна, а следовательно имеет обратную.

3. график называется полукубической параболой

1. D(y)=R;

2. , у у=0 при х=0, следовательно, график проходит через начало координат и лежи т в верхней полуплоскости;

3. у(-х)=у(х) – функция четная, график симметричен относительно оси ординат;

4. (

   x

   – ; 0) – убывает; (0; + ) – возрастает.

§ 11 Показательная функция.

♯ Функция вида у=а^х при a>0, a 1 называется показательной.

1. D(y)=R;

2. а^х 0, график функции не пересекает ось абсцисс.

3. х, а^х >0, график функции расположен в верхней полуплоскости;

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. а>1 – функция монотонно возрастает,

0<a<1– функция монотонно убывает

6. максимумов, минимумов нет;

7. 1) а>1, х→ а^х →

х→ а^–x →0

2) 0<a<1, х→ а^х →0

х→ а^x →

§ 12 Логарифмическая функция

Функция вида y=log_ax, где a>0, a 1 называется логарифмической функцией.

y

0<a<1

=log_ax, a^у=х, функции y=log_ax и a^у=х взаимно-обратные функции, следовательно их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

а>1

1. D(y)=(0; ); Е(у)=R

2. log_ax=0 при х=1, следовательно, график пересекает ось абсцисс в точке (1;0).

3. а>1 х (0;1) у<0

х (1;+ ) у>0

0<a<1 х (0;1) у>0

х (1;+ ) у<0

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. а>1 – функция монотонно возрастает,

0<a<1– функция монотонно убывает

6. максимумов, минимумов нет;

7. при а>1, х→0 log_ax → –

при 0<a<1, х→ log_ax→+

§ 13 Преобразование графиков

1. Параллельный сдвиг графика

а) Для построения графика функции у= f(х)+b, где b– постоянное число, надо перенести график функции f(x) на вектор (0;b) вдоль оси ординат.

Пример: y=x²+3

б) График функции у= f(х-а), где а– постоянное число, получается из графика функции f(x) переносом на вектор (а;0) вдоль оси абсцисс.

! Если а>0, то вектор (а;0) направлен в положительном направлении оси абсцисс, при а<0 – в отрицательном направлении

Пример:

2. Преобразование симметрии.

График функции у = – f(х) получается зеркальным отражением графика функции y=f(х) относительно оси х.

График функции у =f(–х) получается зеркальным отражением графика функции y=f(х) относительно оси у.

Г

0<t<1

рафик функции у = – f(– х) получается с помощью симметрии графика функции y=f(х) относительно начала координат.

3. Сжатие и растяжение графиков

Г рафик функции у = f(к х), к>0 получается из графика функции y=f(х) «сжатием» к оси у в к раз при к>1, и «растяжением» в к раз при 0<к<1

Г рафик функции у = tf(х), t>0 получается из графика функции y=f(х) «растяжением» от оси х в t раз при t>1, и «сжатием» к оси х в раз при 0<t<1.

x