§ 7 Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида y=ax+b.

Если b=0, то у=ax: у прямо пропорционально х.

Свойства у=ax:

1. D(y)=R

2. y(-x)=-ax=-y(x), следовательно функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. х=0, то у=0, следовательно график проходит через начало координат.

П роведем через начало координат прямую линию под углом к оси Ох так, что tg =a. Докажем, что эта прямая и является графиком функции. Для этого следует установить два положении: 1) любая точка этой прямой есть точка графика функции; 2) любая точка графика функции лежит на построенной прямой.

1. M₀(x₀;y₀). y₀ = tg ∙ x₀, tg = , следовательно, y₀ = ax₀, следовательно точка лежит на графике функции.

2. Пусть для некоторой точки M₀(x₀;y₀) выполняется равенство y₀ = ax_0, то есть =tg . То есть прямая, соединяющая эту точку с началом координат, наклонена к оси Ох под углом , то есть совпадает с построенной прямой. Ч.т.д.

Итак, график функции y=ax – есть прямая, проходящая через начало координат под углом (tg ) к оси Ох.

а – угловой коэффициент прямой.

Если а>0, то – I и III координатная четверть

a<0, то – II и IV координатная четверть

а=0 – прямая совпадает с осью Ох.

График функции у= ах+b получается из графика функции у=ах сдвигом на |b| единиц вверх при b>0 или вниз при b<0. Если x=0, то у=b, следовательно, график пересекает ось Оу в точке (0;b).

Вывод: графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке (0;b) и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а.

y=ax+b, а – угловой коэффициент, b – начальная ордината.

a<0 функция убывает; а>0 функция возрастает; а=0 функция постоянна.

§ 8 Квадратичная функция

1) y=x²

а) D(y)=R;

б) х=0, то у=0, следовательно график проходит через начало координат;

в) y>0 при x R\{0};

г) y(-x)=y(x), следовательно функция четная, график симметричен относительно оси Оу;

д) при х 0 возрастает, при х 0 убывает

е) х=0 – точка минимума.

2 ) y=аx²

3) y

x

y

x

0

x

0

=ax²+bx+c

y = a (x² + )+c = a (x² + + ) – +c= a (x + )² – –

Итак, график функции y=ax²+bx+c парабола, полученная из графика функции y=ax²

Вывод: 1) Если d<0, то при а>0 график функции весь лежит выше оси абсцисс, и при а<0 ниже оси абсцисс.

2) Если d=0, вершина параболы лежит на оси Ох, если а>0 в верхней полуплоскости, если а<0 в нижней полуплоскости.

3) Если d>0, то график функции пересекает ось Ох в двух точках, при а>0 «ветви» вверх, при а<0 «ветви» вниз.

§ 9 Степенная функция с целым показателем.

1. у=хⁿ, n N

n

y

=1, у=х – прямая пропорциональность – график прямая

(биссектриса I и III координатных углов)

n=2, у=х² – парабола

а ) D(y)=R

б) у=0, то х=0, значит график проходит через начало координат.

в) n=2k (четное) у(-х)=у(х), следовательно, функция четная

n=2k+1 (нечетное) у(-х)= –у(х), следовательно, функция нечетная

г) n=2k

n=2k+1, x функция возрастает

При n=3 график называется кубической параболой.

2. у=xⁿ, n=-1

1. у = , общий случай у = – обратная пропорциональность, m – коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции у = :

1. D(y)=R\{0};

2. E(y )=R\{0}, нулей функции нет;

3. у(-х)=-у(х) – функция нечетная, график симметричен относительно начала координат;

m>0. Если x>0, y>0, еcли x<0, y<0; x>0, x1<x2, то , у1>у2, функция убывает x<0, x1<x2, то , у1>у2, функции убывает Ф ункция убывает на всей области определения. у = х→ + у→ +0 (с положительной стороны) х→ – у→ –0 (с отрицательной стороны)

m<0. Если x>0, y<0, еcли x<0, y>0 Самостоятельная работа № 3 Свойства разобрать

График: равнобочная гипербола.

2. 

3.